Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (theta) = s e n theta + cos theta , f (0) = 3 , f^' (0) = 4

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ') ( theta ) . Para isso, utilizaremos as regras de derivação de funções trigonométricas, ficando com

f^(' ') (theta) = s e n theta + cos theta

f^' (theta) = - cos theta + s e n theta + C

Derivando f ' ( theta ) , temos

f^(' ') (theta) = s e n theta + cos theta

Dessa forma, f^' ( theta ) é a antiderivada de f^(' ') ( theta ) .

Encontrando agora a antiderivada de f^' ( theta ) , temos

f^' (theta) = - cos theta + s e n theta + C

f (theta) = - s e n theta - cos theta + C x + D

Derivando f ( theta ) , temos

f^' (theta) = - cos theta + s e n theta + C

Dessa forma, f ( theta ) é a antiderivada de f^' ( theta ) .

Passo 3

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D . Aplicando f^' (0) = 4 , temos

f^' (theta) = - cos theta + s e n theta + C

f^' (0) = - cos 0 + s e n 0 + C

C = 5

Aplicando f (0) = 3 , temos

f (theta) = - s e n theta - cos theta + 5 x + D

f (0) = - s e n 0 - cos 0 + 5 (0) + D

D = 4

Resposta

f (theta) = - s e n theta - cos theta + 5 x + 4

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