Enunciado

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Encontre a primitiva F de f que satisfaça a condição dada. Verifique sua resposta comparando os gráficos de f e F

f x = 5 x 4 - 2 x 5 ,                                                       F 0 = 4

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar a tabela da seção 4.9 para encontrar a primitiva de f ( x ) . Ao encontrar uma primitiva, sempre se tem uma constante C por definição. Utilizaremos a condição dada para encontrar o valor dessa constante e assim comparar os gráficos de f e F .

Passo 2

Para encontrar a primitiva de f ( x ) , iremos utilizar a regra da potência, assim, temos

f x = 5 x 4 - 2 x 5

F x = 5 5 x 5 - 2 6 x 6 + C = x 5 - 1 3 x 6 + C

Derivando F ( x ) , temos

F ' x = 5 x 4 - 2 x 5

Como F ' x = f ( x ) , então F ( x ) é a primitiva de f ( x ) .

Passo 3

Substituindo a condição dada, temos

F x = x 5 - 1 3 x 6 + C

F 0 = 0 5 - 1 3 0 6 + C

C = 4

Então, temos que

F x = x 5 - 1 3 x 6 + 4

Podemos assim gerar o gráfico de f ( x ) e F ( x )

Resposta

Podemos ver que f é positiva quando F está crescendo e negativa quando F está decrescendo. Podemos ver também que em f x = 0 , F ( x ) possui um máximo local.

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