Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = x^(- 2) , x > 0 , f (1) = 0 , f (2) = 0

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ') ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, ficando com

f^(' ') (x) = x^(- 2)

f^' (x) = - x^(- 1) + C

Derivando f ' ( x ) , temos

f^(' ') (x) = x^(- 2)

Dessa forma, f^' ( x ) é a antiderivada de f^(' ') ( x ) .

Encontrando agora a antiderivada de f^' ( x ) , temos

f^' (x) = - x^(- 1) + C

f (x) = - ln x + C x + D

Derivando f ( x ) , temos

f^' (x) = - x^(- 1) + C

Dessa forma, f ( x ) é a antiderivada de f^' ( x ) .

Passo 3

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D . Aplicando f (1) = 0 , temos

f (x) = - ln x + C x + D

f (1) = - ln 1 + C + D

C = - D

Aplicando f (2) = 0 , temos

f (x) = - ln x + C x + D

f (2) = - ln 2 + 2 C - C

C = ln 2

D = - ln 2

Resposta

f (x) = - ln x + (ln 2) x - ln 2

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