Enunciado

Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P dado. Trace um esboço da curva e o círculo de curvatura.

b   y = 2 x ; P = 0 ,   0

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.8 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., temos que a curvatura k de uma curva C é a medida da taxa de variação de sua direção e pode ser dada por:

k x = d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2

Quando a curva é plana e possui a forma cartesiana y = f x .

Considerando ainda um ponto P ∈ C , o raio de curvatura ρ é dado como o inverso da curvatura, ou seja:

ρ x = 1 k x

Passo 2

Dessa forma, para calcularmos a curvatura através da fórmula dada, precisamos determinar a primeira e segunda derivada da função dada. Então, derivando-a uma vez, teremos:

y ' = 1 x

E, fazendo isso novamente:

y ' ' = - 1 2 x 3 / 2

Com esses dois resultados, conseguimos encontrar a forma da curvatura substituindo-as na sua fórmula dada no Passo anterior. Logo, a curvatura pode ser calculada como:

k x = - 1 2 x 3 2 1 + 1 x 2 3 2

Tal que:

k x = 1 2 x 3 2 1 + 1 x 3 2 = 1 2 x 3 2 1 + 1 x 3 2

Podemos juntar os termos que possuem o mesmo expoente:

k x = 1 2 x 1 + 1 x 3 2

Que resulta em:

k x = 1 2 x + 1 3 2

Para sabermos o valor da curvatura no ponto dado precisamos substituir a coordenada x dele nessa última equação, ou seja:

k 0 = 1 2 0 + 1 3 2

Portanto:

k 0 = 1 2

Passo 3

Com o valor da curvatura determinado, sabemos qual é o raio de curvatura. Então:

ρ 0 = 1 k 0 = 1 1 2

Logo:

ρ 0 = 2

Passo 4

Com o software online Desmos, podemos esboçar a curva (em vermelho) e o círculo de curvatura (em azul), e obter:

Resposta

k 0 = 1 2

ρ 0 = 2

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