Enunciado

Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P dado. Trace um esboço da curva e o círculo de curvatura.

f   σ t = 1 + 2 ln ⁡ t ,   1 + t 2 ; P = 1 ,   2

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.8 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., o Teorema 1.4 (página 42 ) dessa seção nos dá uma fórmula mais fácil para o cálculo da curvatura k de uma curva C e é dada por:

k t = A t × V t v 3 t

Tal que:

V t = σ ' t é o vetor velocidade;

v t = V t é a velocidade escalar;

A t = σ ' ' t é o vetor aceleração.

Essas definições se encontram na Seção 1.3 no item Definição 1.5 do livro.

Para resolver o numerador, precisamos nos recordar que o produto vetorial entre dois vetores pode ser resolvido através do determinante. Supondo dois vetores u → e v → , o produto vetorial entre eles é:

u → × v → = i j k v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3

Além disso, considerando ainda um ponto P ∈ C , o raio de curvatura ρ é dado como o inverso da curvatura, ou seja:

ρ t = 1 k t P a r a   s a b e r m o s   o s   r e s u l t a d o s   n o   p o n t o   d a d o ,   t e r e m o s   q u e   s u b s t i t u i r   t nas funções curvatura e raio de curvatura. Mas como determinar essa variável? É bem simples: temos que o vetor σ possui duas coordenadas x e y na forma x ,   y , assim como o ponto dado. Então, basta igualar as coordenadas do vetor com a sua respectiva coordenada do ponto. Para esse exercício, temos:

y v e t o r = 1 + t 2 = 2 = y p o n t o

Logo:

1 + t 2 = 2

Ou seja:

t 2 = 1

O único valor de t que atende a nossa equação é

t = ± 1

Isso também pode ser verificado pelos elementos x do vetor e do ponto.

Passo 2

Dessa forma, para calcularmos a curvatura através da fórmula dada, precisamos determinar a primeira e segunda derivada. Então, derivando-a, teremos:

σ ' t = 2 t ,   2 t

Tal que:

v t = σ ' t = 2 t 2 + 2 t 2

Ou seja:

v t = 4 t 2 + 4 t 2

Derivando novamente:

σ ' ' t = - 2 t 2 ,   2

A partir da equação da curvatura dada, temos que:

k t = 2 t ,   2 t × - 2 t 2 ,   2 4 t 2 + 4 t 2 3

Resolvendo o produto vetorial pelo determinante:

2 t ,   2 t × - 2 t 2 ,   2 = i j k - 2 / t 2 2 0 2 / t 2 t 0

2 t ,   2 t × - 2 t 2 ,   2 = - 4 t k - 4 t k

Então:

2 t ,   2 t × - 2 t 2 ,   2 = - 8 t k

Esse resultado pode ser denotado como o vetor:

2 t ,   2 t × - 2 t 2 ,   2 = 0 ,   0 ,   - 8 t

Assim:

k t = 0 ,   0 ,   - 8 t 4 t 2 + 4 t 2 3

Passo 3

Calculando o módulo do vetor do numerador:

k t = - 8 t 2 4 t 2 + 4 t 2 3 = 8 t 4 t 2 + 4 t 2 3

Agora, substituindo o valor de t :

k 1 = 8 4 + 4 3 = 8 8 3

Isso resulta em:

k 1 = 8 8 8 = 1 2 2

Pela radiciação, podemos “tirar” a raiz quadrada do denominador multiplicando o numerador e o denominador por ela mesma:

k 1 = 1 2 2 2 2

Portanto:

k 1 = 2 4

Passo 4

Com o valor da curvatura determinado, sabemos qual é o raio de curvatura. Então:

ρ 1 = 1 k 1 = 1 2 4

Logo:

ρ 1 = 4 2

Pela radiciação:

ρ 1 = 4 2 2 2 = 2 2

Passo 5

Para encontrarmos a equação da curva, podemos fazer o seguinte: usar os componentes x e y de σ e fazer uma manipulação algébrica para determinar uma equação em função dessas componentes. Dessa forma, teremos:

x = 1 + 2 ln ⁡ t e y = 1 + t 2

Isolando a função logarítmica na equação de x :

2 ln ⁡ t = x - 1

E usando a propriedade:

a ln ⁡ u = ln ⁡ u a

Teremos:

ln ⁡ ( t 2 ) = x - 1

E, aplicando a função exponencial natural:

e ln ⁡ t 2 = e x - 1

Isso resulta em:

t 2 = e x - 1

Por fim, substituindo o valor de t na equação de y , temos que a equação da curva é:

y = 1 + e x - 1

Então, esboçando a curva (em vermelho) e o círculo de curvatura (em azul), iremos obter:

Resposta

k 1 = 2 4

ρ 1 = 2 2

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