Enunciado

Seja y = f ( x ) a equação de uma curva C que tem inclinação igual a 1 em x = 0 . Se f ' ' x = x 2 + 2 e x + e - x 2 , determine a curvatura de C quando x = 0 .

Passo 1

Bom galera, para encontrarmos a curvatura de uma curva, uma vez que temos uma função cartesiana usamos a equação 1.13 , que é:

k x = d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2

Passo 2

Belezinha, já temos o valor da primeira derivada quando x = 0 , que o problema deu dizendo que era a inclinação, agora calculamos também o valor da segunda derivada em x = 0 :

f ' ' x = x 2 + 2 e x + e - x 2

→ f ' ' 0 = 0 2 + 2 e ( 0 ) + e - ( 0 ) 2

→ f ' ' 0 = 0 + 2 1 + 1 2

→ f ' ' 0 = 2

Passo 3

Show de bolinhas, agora substituímos os valores que temos na fórmula da curvatura:

k 0 = d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2

→ k 0 = 2 1 + 1 2 3 2

→ k 0 = 2 2 3 2

→ k 0 = 2 2 3 = 2 2 2 ⋅ 2 = 1 2

Resposta

1 2

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Determine o raio de curvatura das seguintes curvas no espaço: bσ t = e t ,e - t , 2 t .