Encontre y'' por derivação implícita.

x^3 + y^3 = 1

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte expressão:

x 3 + y 3 = 1

Nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de segunda ordem de y utilizando derivação implícita.

Tá... já sabemos que precisaremos derivar duas vezes... mas o que é essa derivação implícita??

Bom... seja uma equação implícita geral de duas variáveis, F ( x , y ) = 0 , onde y é uma função de x .

Para encontrarmos a derivada dessa expressão, precisamos derivar os dois lados da equação e, em seguida, devemos aplicar a regra da cadeia:

d d x F x , y = d d x 0 ∴

d F d x + d F d y d y d x = 0

Com isso é só a gente isolar o d y d x que descobriremos a derivada da nossa função!! Entendeu?

Agora bora lá aplicar!! 😉

Mas antes, vamos precisar da regra da potência para derivar a nossa função.

A regra da potência diz que se uma função é da forma f x = x n , então, sua derivada é f ' x = n x n - 1 .

Passo 2

Primeiramente, iremos derivar os dois lados da equação em relação a x :

x 3 + y 3 = 1 ∴

3 x 2 + 3 y 2 y ' = 0

Veja que ao diferenciar y , multiplicamos pela sua derivada y ' . Isso ocorre devido a regra da cadeia.

Vamos agora isolar y ' :

3 x 2 + 3 y 2 y ' = 0 ∴

y ' = - 3 x 2 3 y 2 ∴

y ' = - x 2 y 2

Passo 3

Agora, iremos derivar novamente os dois lados da equação em relação a x , utilizando a regra do quociente:

y ' ' = - 2 x y 2 + 2 y y ' x 2 y 2

Como y ' = - x 2 y 2 , iremos substituir na equação e colocar - 2 x em evidência:

y ' ' = - 2 x y 2 - 2 y x 2 y 2 x 2 y 4 ∴

y ' ' = - 2 x y 2 + x 3 y y 4 ∴

y ' ' = - 2 x y 3 + x 3 y 5

Nosso enunciado nos diz que:

x 3 + y 3 = 1

Então, substituindo em y ' ' :

y ' ' = - 2 x 1 y 5 ∴

y ' ' = - 2 x y 5

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' ' = - 2 x y 5

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