Enunciado

Encontre y ' ' por derivação implícita.

x^3 + y^3 = 1

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte expressão:

x^3 + y^3 = 1

Nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de segunda ordem de y utilizando derivação implícita.

Tá... já sabemos que precisaremos derivar duas vezes... mas o que é essa derivação implícita??

Bom... seja uma equação implícita geral de duas variáveis, F ( x , y ) = 0 , onde y é uma função de x .

Para encontrarmos a derivada dessa expressão, precisamos derivar os dois lados da equação e, em seguida, devemos aplicar a regra da cadeia:

(d)/(d x) F (x , y) = (d)/(d x) 0 :.

(d F)/(d x) + (d F)/(d y) (d y)/(d x) = 0

Com isso é só a gente isolar o (d y)/(d x) que descobriremos a derivada da nossa função!! Entendeu?

Agora bora lá aplicar!! 😉

Mas antes, vamos precisar da regra da potência para derivar a nossa função.

A regra da potência diz que se uma função é da forma f (x) = x^n , então, sua derivada é f^' (x) = n x^(n - 1) .

Passo 2

Primeiramente, iremos derivar os dois lados da equação em relação a x :

x^3 + y^3 = 1 :.

3 x^2 + 3 y^2 y^' = 0

Veja que ao diferenciar y , multiplicamos pela sua derivada y ' . Isso ocorre devido a regra da cadeia.

Vamos agora isolar y ' :

3 x^2 + 3 y^2 y^' = 0 :.

y^' = (- 3 x^2)/(3 y^2) :.

y^' = (- x^2)/(y^2)

Passo 3

Agora, iremos derivar novamente os dois lados da equação em relação a x , utilizando a regra do quociente:

y^(' ') = (- 2 x y^2 + 2 y y ' x^2)/(y^2)

Como y^' = (- x^2)/(y^2) , iremos substituir na equação e colocar - 2 x em evidência:

y^(' ') = (- 2 x y^2 - 2 y (x^2)/(y^2) x^2)/(y^4) :.

y^(' ') = - 2 x ((y^2 + (x^3)/(y))/(y^4)) :.

y^(' ') = - 2 x ((y^3 + x^3)/(y^5))

Nosso enunciado nos diz que:

x^3 + y^3 = 1

Então, substituindo em y ' ' :

y^(' ') = - 2 x ((1)/(y^5)) :.

y^(' ') = - (2 x)/(y^5)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y^(' ') = - (2 x)/(y^5)

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