Enunciado

28. Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

x 2 + 2 x y - 4 y ² = 12 , ( 2,1 ) (elipse)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por uma equação em um determinado ponto. Para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação. Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

m representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta). Para a reta tangente, m será a derivada de y com relação a x , isto é, y ' no ponto de tangência. Assim, para encontrar m , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Passo 2

Derivando a equação implicitamente com relação a x :

x 2 + 2 x y - 4 y ² = 12

2 x + 2 ⋅ y + 2 x ⋅ y ' - 8 y ⋅ y ' = 0

Então,

2 x + 2 y + y ' 2 x - 8 y = 0

y ' = - 2 x + 2 y 2 x - 8 y

Passo 3

Como o ponto de interesse é x 0 ,   y 0 = ( 2,1 ) , devemos substituir x = 2 e y = 1 na equação encontrada no passo 2:

y ' = - 2 2 + 2 1 2 2 - 8 1 = - 4 + 2 4 - 8 = 6 4

y ' = 3 2

Assim, o coeficiente angular da reta tangente será m = 3 2 .

Passo 4

Agora basta substituir o ponto e a inclinação na equação da reta:

y - 1 = 3 2 ⋅ ( x - 2 )

y - 1 = 3 2 x - 3

y = 3 2 x - 2

Resposta

y = 3 2 x - 2

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