Enunciado

Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente da curva no pontos dados.

x 2 - x y - y 2 = 1 , 2,1 (hipérbole)

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a reta tangente no ponto dado, ou, seja, y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

x 2 - x y - y 2 = 1 d d x x 2 - x y - y ² = d d x ( 1 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y :

2 x - x y ' + y   . 1 - 2 y y ' = 0

Passo 2

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

y ' = 2 x - y x + 2 y

Passo 3

Por fim, devemos substituir o ponto dado na equação da reta tangente que achamos. Fica assim:

y ' ( x , y ) = 2 x - y x + 2 y

y ' ( 2,1 ) = 2 2 - 1 2 + 2 1

y ' 2,1 = 3 4

Resposta

y ' 2,1 = 3 4

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