Enunciado

49. Uma partícula move-se de acordo com uma lei do movimento s = f t = t 3 - 12 t 2 + 36 t ,     t ≥ 0 , onde t está medindo em segundo e s , em metros.

(a) Encontre a aceleração no instante t e depois de 3 s

(b) Faça o gráfico das funções posição, velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 8 .

(c) Quando a partícula está aumentando a rapidez? E quando está diminuindo?

Passo 1

(a)

Lá da física, a gente sabe que a derivada do espaço em relação ao tempo é a velocidade:

v = d s d t

e a derivada da velocidade em relação ao tempo é a aceleração:

a = d v d t

Então precisamos derivar duas vezes a função fornecida no enunciado:

v = f ' t = 3 t 2 - 12 2 t + 36

v = f ' t = 3 t 2 - 2 4 t + 36

Derivando mais uma vez:

a = f ' ' t = 3 2 t - 24

Então a função da aceleração é igual a

a t = 6 t - 24

Para t = 3

a 3 = 6 3 - 24

a 3 = - 6   m / s 2

Passo 2

(b)

Podemos usar o GeoGebra para desenhar o gráfico com as funções:

A azul indica a posição;

A verde a velocidade;

E a vermelha a aceleração.

Passo 3

(c) A partícula aumenta a rapidez quando ela tem a velocidade e a aceleração com mesmo sinal. Isso ocorre em 2 ≤ t ≤ 4 e t ≥ 6

Resposta

(a) a t = 6 t - 24

a 3 = - 6   m / s 2

(b)

(c) 2 ≤ t ≤ 4 e t ≥ 6

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