Enunciado

Biólogos observaram que a taxa de canto dos grilos de uma certa espécie aparentemente está relacionada com a temperatura. A tabela mostra as taxas de canto para várias temperaturas.

(a) Faça um diagrama de dispersão dos dados.

(b) Encontre e faça um gráfico da reta de regressão.

(c) Use o modelo linear da parte (b) para estimar a taxa de cantos a 100   ° F .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos dá uma tabela e pede pra gente fazer um diagrama de dispersão de dados, a partir dela, fazer um gráfico da reta de regressão linear e usar esse modelo linear para estimar a taxa de cantos a 100   ° F .

A tabela que ele nos deu é essa daqui:

Ela relaciona a temperatura com a taxa de canto de uma espécie de grilos. A primeira coisa que devemos fazer é um gráfico de dispersão, que é uma representação desse conjunto de dados! Pra isso, nós vamos usar a temperatura como eixo horizontal e a taxa de canto como eixo vertical e marcar um ponto para cada linha da tabela, de acordo com a numeração dada.

Depois, nós vamos pegar o primeiro e o último pontos dados na tabela e calcular a inclinação da reta da forma:

i n c l i n a ç ã o = C f - C i T f - T i

Onde C f é a taxa de canto final, C i a taxa de canto inicial, T f a temperatura final e T i a temperatura inicial.

Com essa inclinação, vamos construir a reta de regressão linear usando a equação geral da reta:

C - C 0 = m ( T - T 0 )

Onde m é a inclinação calculada e ( T 0 ,   C 0 ) é um ponto conhecido do nosso gráfico.

Então, vamos comparar o resultado obtido com a regressão linear dada por uma ferramenta gráfica e depois vamos apenas substituir T = 100   ° F na equação da reta para obter o valor da taxa de canto nessa temperatura e responder o último item da nossa questão.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar desenhando o nosso gráfico com a temperatura no eixo horizontal e a taxa de canto no eixo vertical e vamos marcar os pontos ( 50 ,   29 ) , ( 55 ,   46 ) , ( 62 ,   79 ) , ( 64 ,   91 ) , ( 70 ,   118 ) , ( 74 ,   140 ) , 80 ,   167 ,   ( 86 ,   198 ) e ( 90 ,   216 ) .

Esse é o nosso diagrama dispersão. Repare que os pontinhos são formados pelos dados da tabela e que se aproximam muito da forma de uma reta.

Passo 3

Agora vamos encontrar a reta de regressão linear a partir do gráfico anterior, para responder a letra (b).

Nós vimos no passo 1 que a equação da reta pode ser dada na forma:

C - C 0 = m ( T - T 0 )

Onde C representa a taxa de canto, T a temperatura, m a inclinação da reta e ( T 0 ,   C 0 ) é um ponto conhecido do nosso gráfico.

Pra calcular essa inclinação m , vamos usar o primeiro e o último ponto do gráfico anterior, ( 50 ,   29 ) e ( 90 ,   216 ) , respectivamente. Assim, vamos ter:

m = C f - C i T f - T i

m = 216 - 29 90 - 50

Calculando, obtemos:

m = 187 40

m = 4,675

Agora usando o ponto T 0 ,   C 0 = 90 ,   216 e a inclinação calculada e substituindo na equação da reta, vamos ter:

C - 216 = 4,675 ∙ ( T - 90 )

Aplicando a distributiva no produto do lado direito da equação:

C - 216 = 4,675 T - 420,75

E isolando C :

C = 4,675 T - 420,75 + 216

C = 4,675 T - 2 0 4 , 75

Passo 4

Então, traçamos a reta de regressão no gráfico:

Se a gente usasse uma ferramenta computacional para traçar esse gráfico e obter a reta de regressão linear a partir dos pontos dados, nós teríamos algo assim:

E a equação da reta de regressão dada por:

C = 4,856 T - 220,97

Que é bem próximo do cálculo que nós fizemos, mostrando que essa é uma boa aproximação.

Passo 5

Para a letra (c) é só substituirmos o valor de T na equação da regressão obtida no passo 3 . Assim, sendo T = 100 , teremos:

C = 4,675 T - 204,75

C = 4,675 ∙ ( 100 ) - 204,75

Calculando o produto:

C = 467,5 - 204,75

Logo,

C = 262,75   c a n t o s / m i n

Se a gente usasse a equação obtida pela ferramenta gráfica, teríamos:

C = 4,856 ∙ ( 100 ) - 220,9 7

C = 264 , 6 3   c a n t o s / m i n

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(a) D i a g r a m a   d e   d i s p e r s ã o .

(b) C = 4,675 T - 204,75

(c)   C = 262,75   c a n t o s / m i n

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