Enunciado

Encontre a derivada dada encontrando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.

40. D 1000 x e - x

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema queremos encontrar a derivada de ordem 10 00 da função x e - x .

Parece complicado?

Com certeza não vamos derivar derivar x e - x 10 00 vezes para obter o resultado pois isso daria muito trabalho.

O que temos que fazer é encontrar uma relação de recorrência das derivadas de x e - x e aí sim poder determinar a derivada de ordem 10 00 .

Nesse caso, x e - x é um produto de funções, então vamos aplicar a regra do produto a princípio.

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Porem tambem temos uma função composta e - x , portanto vamos aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada dessa função.

d e f x d x = f ' x d e f d f

Então vamos começar calculando as derivadas de primeira ordem para encontrar essa relação.

Lembrando que pelo teorema fundamental do calculo, a derivada de s e n e c o s são dadas por

d e x d x = e x

E tambem que D   f x = d f x d x

Bora lá!

Passo 2

Como ele diz no enunciado, a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão (perceba que precisamos da regra do produto):

D x e - x = d d x x ��� e - x + d d x e - x ⋅ x

D x e - x = e - x - x e - x

D x e - x = - x - 1 e - x

Segunda derivada:

D 2 x e - x = d d x e - x - x e - x

D 2 x e - x = d d x e - x - d d x x e - x

Aquela segunda derivada na equação a gente acabou de calcular ali em cima:

D 2 x e - x = - e - x - e - x - x e - x

D 2 x e - x = - 2 e - x + x e - x

D 2 x e - x = x - 2 e - x

Terceira derivada:

D 3 x e - x = d d x x - 2 ⋅ e - x + x - 2 ⋅ d d x e - x

D 3 x e - x = e - x + x - 2 ⋅ - e - x

D 3 x e - x = - x - 3 ⋅ e - x

Então, cada vez que derivamos o sinal se altera, o e - x permanece lá e os números multiplicando vão cada vez se tornando menores:

D n x e - x = - 1 n x - n ⋅ e - x

Vamos usar n = 1000 :

D 1000 x e - x = - 1 1000 x - 1000 ⋅ e - x

Menos um elevado a um número par é 1:

D 1000 x e - x = x - 1000 ⋅ e - x

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

D 1000 x e - x = x - 1000 ⋅ e - x

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