Enunciado

Encontre a derivada da função.

f (x) = (1 + x^4)^((2)/(3))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

f (x) = (1 + x^4)^((2)/(3))

Para isso, precisaremos utilizar a regra da cadeia!!

Essa regrinha é dada da seguinte forma:

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

Assim, para podermos derivar a função que queremos, temos que encontrar quem são as funções f (x) e g (x) de tal forma que:

F (x) = f (g (x))

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Ao analisar a função, percebemos que trata-se de um polinômio de grau 4 , elevado ao grau (2)/(3) .

Assim, encontrando as funções f (x) e g (x) , onde g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora, temos:

g (x) = 1 + x^4 e f (u) = u^((2)/(3))

Passo 3

Vamos agora aplicar na regra, vamos resolver separadamente os termos, vamos ter que usar a fórmula da derivada de polinômio e a regra da função constante, vamos dá uma olhada nelas:

Do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Da função constante:

(c)^' = 0

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' (x) usando as duas regras:

g^' (x) = (1)^' + (x^4)^' :.

g^' (x) = 0 + 4 x^(4 - 1) :.

g^' (x) = 4 x^3

Agora f ' (u) , vamos usar a regra da derivada de polinômio:

f^' (u) = (u^((2)/(3)))^' :.

f^' (u) = (2)/(3) u^((2)/(3) - 1) :.

f^' (u) = (2)/(3) u^(- (1)/(3)) :.

f^' (u) = (2)/(3 root(3)(u))

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

F^' (x) = ((1 + x^4)^((2)/(3)))^' = f^' (g (x)) . g^' (x) :.

F^' (x) = ((2)/(3 root(3)(u))) . (4 x^3) :.

F^' (x) = (8 x^3)/(3 root(3)(u))

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

F^' ( x ) = (8 x^3)/(3 root(3)(1 + x^4))

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

F ' (x) = (8 x^3)/(3 root(3)(1 + x^4))

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