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Encontre a derivada da função.

f x = 1 + x 4 2 3

Passo 1

Vamos analisar a função, é um polinômio de grau 4 , elevado ao grau 2 3 , vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

F ' x = f ' g x . g ' x

Passo 2

Temos que achar quais são as funções f x e g x , temos que:

F x = f g x

g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

g x = 1 + x 4 e f u = u 2 3

Passo 3

Vamos agora aplicar na regra, vamos resolver separadamente os termos, vamos ter que usar a fórmula da derivada de polinômio e a regra da função constante, vamos dá uma olhada nelas:

Do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Da função constante:

c ' = 0

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' x usando as duas regras:

g ' ( x ) = 1 ' + x 4 ' = 0 + 4 x 4 - 1 = 4 x 3

Agora f ' u , vamos usar a regra da derivada de polinômio:

f ' ( u ) = u 2 3 ' = 2 3 u 2 3 - 1 = 2 3 u - 1 3 = 2 3 u 3

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

F ' ( x ) = 1 + x 4 2 3 ' = f ' g x . g ' ( x ) = 2 3 u 3 . 4 x 3 = 8 x 3 3 u 3

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

F ' ( x ) = 8 x 3 3 u 3 = 8 x 3 3 1 + x 4 3

Resposta

F ' x = 8 x 3 3 1 + x 4 3

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