Enunciado

Encontre a derivada da função.

g x = 1 + 4 x 5 3 + x - x 2 8

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:

g x = 1 + 4 x 5 3 + x - x 2 8

E pede pra gente derivá-la.

A ideai para resolver essas questões, é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivãção devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?

Observe que essa função é formada por uma multiplicação de duas funções. Podemos pensar dessa forma, sendo:

f x = 1 + 4 x 5

h x = 3 + x - x 2 8

Assim, nossa função se torna:

g x = 1 + 4 x 5 3 + x - x 2 8 = f ⋅ h

Sendo assim, a regra que deve ser usada para fazer essa derivação é a regra do produto.

Quando temos um produto entre duas funções a regra é essa aqui:

g ' x = f ⋅ h ' = f ' h + f h '

Agora que sabemos que regra usar, basta fazer a substituição de cada item na fórmula.

Então, partiu aplicar essa regra juntinho comigo.

Passo 2

Aqui vamos usar a regra do produto e temos que:

g ' x = f ⋅ h ' = f ' h + f h '

Sendo:

f x = 1 + 4 x 5

h x = 3 + x - x 2 8

precisamos das derivadas de f e h . Vamos a elas.

Precisamos da derivada de f ( x ) , mas perceba que há uma função dentro da outra aí, pois temos uma função polinomial dentro dos parênteses e tudo isso está elevado a 8 , o que caracteriza uma função composta.

Nesses casos precisamos parar tudo e usar a regra da cadeia, que diz que

f ' u = f ' ⋅ u '

Sendo f a função de fora e u a de dentro.

Assim:

f ' x = 1 + 4 x 5 '

A derivada da de fora vezes a derivada da de dentro:

f ' x = 5 . 1 + 4 x 5 - 1 . 1 + 4 x '

E ficamos com:

f ' x = 5 . 1 + 4 x 4 . 0 + 4 x 1 - 1

f ' x = 5 . 1 + 4 x 4 . 4 x 0

f ' x = 5 . 1 + 4 x 4 . 4.1

E, por fim:

f ' x = 20 1 + 4 x 4

Ufa!

Passo 3

Com h ' ( x ) é a mesma coisa:

h ' x = 3 + x - x 2 8 '

h ' ( x ) = 8 . 3 + x - x 2 8 - 1 . 3 + x - x 2 '

h ' x = 8 . 3 + x - x 2 7 . 0 + 1 . x 1 - 1 - 2 . x 2 - 1

Que nos dará:

h ' ( x ) = 8 . 3 + x - x 2 7 . x 0 - 2 . x 1

ajeitando as coisa, teremos:

e, por fim:

h ' ( x ) = 8 . 3 + x - x 2 7 . 1 - 2 x

Passo 4

Agora que já temos tudo que precisávamos, é só substituir na expressão:

g ' x = f ⋅ h ' = f ' h + f h '

Que ficará:

20 1 + 4 x 4 . 3 + x - x 2 8 + 8 . 3 + x - x 2 7 . 1 - 2 x . 1 + 4 x 5

Eu sei que ficou feio, mas as vezes isso vai acontecer mesmo. Pode confira que está certinho e nós chegmos ai final dessa questão.

Até a próxima!!!

Resposta

g ' x = 20 1 + 4 x 4 . 3 + x - x 2 8 + 8 . 3 + x - x 2 7 . 1 - 2 x . 1 + 4 x 5

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