Encontre a derivada da função.

y = e^(x \* cos(x))

Passo 1

Aqui vamos usar a regra da função exponencial e a do produto:

e f x ' = e f x . f ' ( x )

Vamos lá:

y ' = e x cos ⁡ x ' = e x cos ⁡ x . x cos ⁡ x '

Passo 2

Para derivar x cos ⁡ x ' vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

e

g x = cos ⁡ x

Passo 3

Para calcular f ' ( x ) usamos a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

f ' x = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

Passo 4

Com g ' ( x ) usamos a regra da função trigonométrica do cosseno:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Assim:

g ' x = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Passo 5

Agora é só substituir na expressão:

x cos ⁡ x ' = f ' x g x + g ' x f x = 1 . cos ⁡ x + - sen ⁡ x . x = cos ⁡ x - x sen ⁡ x

Passo 6

Por último é só substituir aqui:

y ' = e x cos ⁡ x ' = e x cos ⁡ x . x cos ⁡ x ' = e x cos ⁡ x . cos ⁡ x - x sen ⁡ x

Resposta

y ' = e x cos ⁡ x . cos ⁡ x - x sen ⁡ x

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