Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = (2 x - 5)^4 (8 x^2 - 5)^(- 3)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = (2 x - 5)^4

e

g (x) = (8 x^2 - 5)^(- 3)

Passo 2

Usamos a regra do polinômio, da função constante e da cadeia pra calcular f ' ( x ) :

(x^n)^' = n x^(n - 1) e (c)^' = 0

Assim:

f ' ( x ) = ((2 x - 5)^4)^' = 4 . (2 x - 5)^(4 - 1) . (2 x - 5)^' = 4 . (2 x - 5)^3 . (2 x^(1 - 1) - 0)

f^' (x) = 4 . (2 x - 5)^3 . (2 x^(1 - 1) - 0) = 4 . (2 x - 5)^3 . (2 x^0) = 4 . (2 x - 5)^3 . 2 = 8 (2 x - 5)^3

Passo 3

Com g ' ( x ) é a mesma coisa:

g ' ( x ) = ((8 x^2 - 5)^(- 3))^' = - 3 . (8 x^2 - 5)^(- 3 - 1) . (8 x^2 - 5)^' = - 3 . (8 x^2 - 5)^(- 4) . (8.2 . x^(2 - 1) - 0)

g^' (x) = - 3 . (8 x^2 - 5)^(- 4) . (16 x^1) = - 48 x (8 x^2 - 5)^(- 4)

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = (f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x) = 8 (2 x - 5)^3 . (8 x^2 - 5)^(- 3) + (- 48 x (8 x^2 - 5)^(- 4)) . (2 x - 5)^4

Resposta

y ' = 8 (2 x - 5)^3 . (8 x^2 - 5)^(- 3) - 48 x (8 x^2 - 5)^(- 4) . (2 x - 5)^4

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