Enunciado

Encontre a derivada da função.

g (t) = (1)/((t^4 + 1)^3)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

g (t) = (1)/((t^4 + 1)^3)

Para isso, precisaremos utilizar a regra da cadeia!!

Essa regrinha é dada da seguinte forma:

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

Assim, para podermos derivar a função que queremos, temos que encontrar quem são as funções f (x) e g (x) de tal forma que:

F (x) = f (g (x))

Agora bora lá!! 😉

Mas antes, para começar, vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

g (t) = (1)/((t^4 + 1)^3) = (t^4 + 1)^(- 3)

Passo 2

Ao analisar a função, percebemos que trata-se de um polinômio de grau 4 , elevado ao grau - 3 .

Assim, encontrando as funções f (u) e g (t) , onde g (t) é a função mais de dentro e f (u) a função mais de fora, temos:

g (t) = t^4 + 1 e f (u) = u^(- 3)

Passo 3

Vamos agora aplicar na regra, vamos resolver separadamente os termos, vamos ter que usar a fórmula da derivada de polinômio e a regra da função constante, vamos dá uma olhada nelas:

Do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Da função constante:

(c)^' = 0

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' (t) usando as duas regras:

g^' (t) = (t^4)^' + (1)^' :.

g^(' (t)) = 4 t^(4 - 1) + 0 :.

g ' (t) = 4 t^3

Agora f ' (u) , vamos usar a regra da derivada de polinômio:

f^' (u) = (u^(- 3))^' :.

f^' (u) = (- 3 u^(- 3 - 1)) :.

f^' (u) = - 3 u^(- 4) :.

f^' (u) = - (3)/(u^4)

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

g^(' (t)) = ((1)/((t^4 + 1)^3))^' = f^(' (g (t))) . g^(' (t)) :.

g ' (t) = (- (3)/(u^4)) . (4 t^3)

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

g^' (t) = (- (3)/(u^4)) . (4 t^3) :.

g^(' (t)) = (- (3)/((t^4 + 1)^4)) . (4 t^3) :.

g ' (t) = - (12 t^3)/((t^4 + 1)^4)

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

g ' (t) = - (12 t^3)/((t^4 + 1)^4)

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Se h (x) = sqrt(4 + 3 f ( x )) , onde f (1) = 7 e f^' (1) = 4 , encontre h ' ( 1 ) .
É dada uma tabela de valores para f , g , f ' e g ' .Se h x = f ( g x ) , encontre h ' ( 1 ) .Se H x = g ( f x ) , encontre H ' ( 1 ) .