Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = x + x + sen 2 ⁡ x 3 4

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = x + x + sen 2 ⁡ x 3 4

Para resolver isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia, pois temos aqui algumas composições de função. E quando temos isso, deveremos utilizar a regra da cadeia para derivar:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Temos então as funções:

f x = g ( x ) 4

Temos a interna que é a:

g x = x + h x 3

Temos a mais interna, que é a:

h z x = x + z x 2

e ainda temos mais uma interna, que é a:

z x = sin ⁡ x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aqui vamos usar a regra da cadeia primeiramente:

y ' = x + x + sen 2 ⁡ x 3 4 '

y ' = d d g x g x 4 ∙ d d x g x

Beleza, então vamos derivar o primeiro termo, o segundo termo a gente já sabe que vai ter que utilizar a regra da cadeia novamente:

y ' = 4 g x 3 ∙ d d x g x

Então vamos calcular d d x g x .

Passo 3

Derivando:

g x = x + h x 3

d g x d x = 1 + 3 h x 2 ∙ d h x d x

Vamos derivar apenas o primeiro termo da derivada novamente, temos um esquema de pirâmides de derivadas a resolver.

Ok, então vamos encontrar a derivada de h x .

Passo 4

Temos então que:

h z x = x + z x 2

d d x h z x = 1 + d d z x z x 2 ∙ d d x z x

d d x h z x = 1 + 2 z x ∙ d z x d x

A derivada de uma função trigonométrica é tabelada, então:

d z x d x = cos ⁡ x

Agora podemos substituir:

d d x h z x = 1 + 2 sin ⁡ x ∙ cos ⁡ x

Agora para:

d g x d x = 1 + 3 h x 2 ∙ d h x d x

d d x g x = 1 + 3 x + sin 2 ⁡ x 2 1 + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x

E por último:

y ' = 4 g x 3 ∙ d d x g x

y ' = 4 x + x + sin 2 ⁡ x 3 3 1 + 3 x + sin 2 ⁡ x 2 1 + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x

Resposta

y ' = 4 x + x + sen 2 ⁡ x 3 3 1 + 3 x + sen 2 ⁡ x 2 1 + 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

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