Enunciado

  1. Se f ( x ) = x 2 - x ² , encontre f ' ( x ) .
  2. Verifique se sua resposta em (a) é razoável comparando os gráficos de f e f ' .

Passo 1

Olá, vamos resolver essa atividade. Aqui a gente tem a função

x 2 - x 2

Aqui a gente precisa utilizar a regra da cadeia e a regra do produto. Temos o produto entre duas funções, e além disso, a função:

2 - x 2

É uma composição de função, temos a função:

x

E a função:

2 - x 2

Bem, vamos então falar agora sobre as regras que iremos utilizar aqui.

Antes de tudo, vamos dar uma olhada na regra da cadeia, ela é utilizada quando devemos derivar uma função composta:

Se y = f g x e u = g ( x ) então y = f ( u ) e a derivada de y é:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Agora vamos dar uma olhada também na regra do produto, utilizada quando temos um produto de função:

Dada o produto de função f x ∙ g ( x ) , a regra do produto é:

f ∙ g ' = f ' ∙ g + f ∙ g '

Passo 2

  1. Vamos dar uma arrumada na função primeiro:
  2. f ( x ) = x 2 - x ² 1 2

    Aqui vamos usar a regra do produto:

    f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

    Temos que:

    f x = x

    e

    g x = 2 - x ² 1 2

    Passo 3

    Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

    x n ' = n x n - 1

    f ' x = x '

    f ' x = x 1 - 1

    f ' ( x ) = x 0 = 1

    Passo 4

    Vamos agora derivar g ' ( x ) , usando a regra da cadeia, já que temos a composição de função:

    g x = 2 - x 2

    g x ' = d ( 2 - x 2 ) d x ∙ d u d u

    g x ' = - 2 x ∙ 1 2 u

    Como consideramos u = 2 - x 2 :

    g x ' = - 2 x ∙ 1 2 ∙ 1 2 - x 2

    g x ' = - x ∙ 1 2 - x 2

    Passo 5

    Agora é só substituir na expressão:

    f ' x = f ' x g x + g ' x f x

    = 1 ∙ 2 - x 2 1 2 + - x ∙ 1 2 - x 2 ∙ x

    = 2 - x 2 - x 2 2 - x 2

    Agora vamos realizar o m m c para deixar tudo em uma forma mais simplificada possível:

    = 2 - x 2 - x 2 2 - x 2

    f ( x ) ' = 2 - 2 x ² 2 - x ²

    Passo 6

  3. Temos aqui o gráfico de f e f ' :

No gráfico abaixo, a curva tracejada preta representa a função f ( x ) e a curva azul representa a derivada f ( x ) ' .

O gráfico é razoável devido às seguintes observações:

(1) Quando f ( x ) ' está acima do eixo y , a curva preta está aumentando.

(2) Quando f ( x ) ' está abaixo do eixo y , a curva preta está diminuindo.

(3) Quando a curva azul está aumentando, a curva preta está côncava para cima.

(4) Quando a curva azul está diminuindo, a curva preta está côncava para baixo.

(5) A inflexão ocorre na curva preta quando a curva azul tem um máximo local.

(6) Os extremos locais ocorrem na curva preta quando a curva azul intercepta o eixo x .

Resposta

a) f ' x = 2 - 2 x ² 2 - x ²

b)

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