Enunciado

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível

h t = cot - 1 ⁡ ( t ) + cot - 1 ⁡ ( 1 t )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função:

h t = cot - 1 ⁡ ( t ) + cot - 1 ⁡ ( 1 t )

Observe que nós temos uma função composta no segundo termo da soma, cot - 1 ⁡ t e 1 t . Isso significa que vamos precisar usar a regra da Cadeia na derivação, que é dada por:

f g t ' = f ' g t ∙ g ' ( t )

Lembrando que a derivada da inversa da cotangente ( cot - 1 ( ⁡ t ) ) é - 1 t 2 + 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra da cadeia na derivada da nossa função:

h ' t = - 1 t 2 + 1 + - 1 1 t 2 + 1 ∙ 1 t '

Observe que nós só derivamos a função inversa da cotangente, que é a função mais externa. Agora derivando a função de dentro, usando a regrinha da potência ( x n ' = n x n - 1 ), vamos ter:

h ' t = - 1 1 + t 2 + - 1 1 t 2 + 1 ∙ - 1 t 2

Elevando o termo do denominador ao quadrado e aplicando a distributiva nos produtos, ficamos com:

h ' t = - 1 1 + t 2 + 1 1 t 2 + 1 ∙ 1 t 2

E simplificando:

h ' t = - 1 1 + t 2 + 1 1 + t 2

Fazendo essa soma, vamos ter:

h ' t = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

h ' t = 0

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