Enunciado

Determine a derivada.

y = s i n 4 x

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função y = s i n 4 x . E beleza, a gente sabe que a derivada da função seno é tabelada e que ela é igual a cosseno. Mas tem um 4 x ali no argumento, será que isso faz diferença na hora de derivar? Faz, por aí a gente tem uma função composta (uma dentro da outra).

Repare que nós temos um polinômio dentro de uma função trigonométrica. E nesses casos onde temos funções compostas, precisamos usar a Regra da Cadeia para resolver a derivada.

A regra da cadeia nos diz que:

[f (g (x))]^' = f^' ( g (x) ) * g^' (x)

Comparando com a nossa função, vamos ter y = f (g (x)) , onde:

f (x) = s e n (g (x))

E

g (x) = 4 x

Agora estamos prontos para derivar! Vamos lá!

Passo 2

A derivação da função seno a gente já viu que vai ser assim:

(s e n x)^' = c o s x

Agora na derivação do polinômio, precisamos usar a regrinha de derivação de polinômios:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Logo,

-> (4 x)^' = 4

Agora é só aplicar esses resultados na regra da cadeia, que nós vimos no passo anterior:

y^' = f^' ( g (x) ) * g^' (x)

y^' = c o s (4 x) * 4

Vamos passar esse 4 para frente para ficar mais bonitinho:

y^' = 4 c o s ( 4 x )

E encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = 4 c o s (4 x)

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