Encontre a derivada da função dada:

f(x) = ln(tg^(-1)(3x))

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de tg - 1 ⁡  

tg - 1 ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

f x = h g w x

Com

h x = ln ⁡ x

g x = tg - 1 ⁡ x

w x = 3 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f ' x = h ' g w x g w x '

f ' x = h ' g w x g ' w x w ' x

Temos

g ' x = 1 x

Que é a derivada de tgh - 1 ⁡  

Então

f ' x = 1 g w x g ' w x w ' x

Passo 2

Vamos achar a derivada de g x

g x = tg - 1 ⁡ x → g ' x = 1 1 + x 2

Vamos ter

f ' x = 1 tg - 1 ⁡ w x 1 1 + w x 2 w ' x

Passo 3

Vamos agora para w x

w x = 3 x → w ' x = 3

Vamos ficar com:

f ' x = 1 tg - 1 ⁡ 3 x 1 1 + 3 x 2 3

f ' x = 3 tg - 1 ⁡ 3 x 1 + 9 x 2

Resposta

f ' x = 3 tg - 1 ⁡ 3 x 1 + 9 x 2

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