Encontre a derivada da função dada:

f(x) = sec^(-1)(raiz(x^2 + 4))

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de sec - 1 ⁡  

sec - 1 ⁡ x ' = 1 x x 2 - 1

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

F x = h g w x

Com

h x = sec - 1 ⁡ x

g x = x

w x = x 2 + 4

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F ' x = h ' g w x g w x '

F ' x = h ' g w x g ' w x w ' x

Temos

g ' x = 1 x x 2 - 1

Que é a derivada de tgh - 1 ⁡  

Então

F ' x = 1 g w x g w x 2 - 1 g ' w x w ' x

Passo 2

Vamos achar a derivada de g x

g x = x = x 1 2 → g ' x = 1 2 x - 1 2

Vamos ter

F ' x = 1 w x w x 2 - 1 1 2   w x - 1 2 w ' x

F ' x = 1 w x w x - 1 1 2   w x - 1 2 w ' x

Passo 3

Vamos agora para w x

w x = x 2 + 4 → w ' x = 2 x

Vamos ficar com:

F ' x = 1 x 2 + 4 x 2 + 4 - 1 1 2   x 2 + 4 - 1 2 2 x

Como x 2 + 4 é sempre positivo:

F ' x = x x 2 + 4 x 2 + 4 - 1   x 2 + 4 - 1 2

F ' x = x x 2 + 4 x 2 + 3   x 2 + 4 - 1 2

Além disso:

x 2 + 4 - 1 2 = 1 x 2 + 4  

A derivada vai ficar:

F ' x = x x 2 + 4 x 2 + 3 1 x 2 + 4  

F ' x = x x 2 + 4 2 x 2 + 3

F ' x = x x 2 + 4 x 2 + 3

Resposta

F ' x = x x 2 + 4 x 2 + 3

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