Enunciado

Questão 14) Calcule a integral indefinida:

int s e n x ( ln x ) dx

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
  2. Note que o integrando " s e n ( ln x ) " não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária( (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X ) e q (x) são polinômios) para usar as técnicas de integrais por frações parciais

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão “resolva essa integral por uma técnica x” .

Passo 2

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções, mas no integrando da integral do enunciado só possui uma função certo? Errado.

Perceba que existe o número 1 multiplicando o s e n ( ln x ) , ou seja

int 1 . s e n ( ln x ) dx = int s e n ( ln x ) dx .

Analisando a formula de integração por partes

int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g ( x ) - int f ' (x) g ( x ) dx

Veja que devemos fazer todos os termos da formula aparecer, certo ? vamos lá

Façamos f(x) = s e n ( l n ( x ) ) derivando f’(x) = (c o s ( l n x ))/(x)

g’(x)=1 integrando g(x)=x

Passo 3

Substituindo os termos encontrado na formula de integração por partes, teremos

int s e n x ( ln x ) d x = x . s e n ( l n x ) - int c o s ( ln x ) d x

(Note que devemos integrar por partes outra vez no ultimo termo da equação “ int c o s ( ln x ) dx” )

Seja f(x)= c o s ( l n ( x ) ) derivando f’(x) = (- s e n ( l n x ))/(x)

g’(x)=1 integrando g(x)=x

Substituindo na formula de integração por partes novamente, temos

int c o s ( ln x ) d x = x . c o s ( ln (x) ) - int - x . s e n ( ln x ) // x dx “cortando o x” pois há x no

numerador e denominador. = x . c o s ( l n x ) - int - s e n ( ln ( x ) ) dx

Substituindo esse resultado na formula principal, temos

int s e n x ( ln x ) dx = xsen(lnx)- int c o s ( ln x ) dx

= x s e n (l n x) - [ x c o s ( l n x ) - int - s e n ( ln x ) d x ]

Note que há int s e n x ( ln x ) dx em ambos lados da equação e além disso, preste atenção nos sinais ( existe o “ – “ da formula )

Passando por outro lado, fica

2 int s e n x ( ln x ) d x = x s e n ( l n x ) - x c o s ( l n x )

int s e n x ( ln x ) d x = (x s e n ( l n x ) - x c o s ( l n x ))/(2) + C

Resposta

int s e n x ( ln x ) d x = (x s e n ( l n x ) - x c o s ( l n x ))/(2) + C

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