Encontre a derivada da função dada:

f(x) = 4 \* sen^(-1)(1/2 \* x) + x \* raiz(4 - x^2)

Passo 1

A nossa derivada vai ficar:

f ' x = 4 sen - 1 ⁡ 1 2 x + x 4 - x 2 ' = 4 sen - 1 ⁡ 1 2 x ' + x 4 - x 2 '

Primeiro usamos a regra do produto no segundo termo:

f ' x = 4 sen - 1 ⁡ 1 2 x ' + x ' 4 - x 2 + x 4 - x 2 '

f ' x = 4 sen - 1 ⁡ 1 2 x ' + 4 - x 2 + x 4 - x 2 '

Temos que usar a regra da cadeia nos doi termos que faltam:

Fazendo

A x = 4 sen - 1 ⁡ 1 2 x

Chamei de A x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

A x = g w x

Com

g x = 4 sen - 1 ⁡ x

w x = 1 2 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

A ' x = g ' w x w ' x

Temos

g ' x = 4 1 1 - x 2

Então

A ' x = 4 1 1 - w x 2 w ' x

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de w x

w x = 1 2 x → w ' x = 1 2

Vamos ter

A ' x = 4 1 1 - x 2 2 1 2  

A ' x = 2 1 - x 2 4 = 2 4 - x 2 4 = 2 4 - x 2 4 = 2 4 - x 2 2 = 4 4 - x 2

Passo 3

Fazendo

B x = 4 - x 2

Chamei de B x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

B x = h m x

Com

h x = x = x 1 2

m x = 4 - x 2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

B ' x = h ' m x m ' x

Temos

h ' x = 1 2   x - 1 2 = 1 2 x

Então

B ' x = 1 2 m x m ' x

Passo 4

Vamos finalizar achando a derivada de m x

m x = 4 - x 2 → m ' x = - 2 x

Vamos ter

B ' x = 1 2 4 - x 2 - 2 x

B ' x = - x 4 - x 2

Passo 5

Voltando para nossa função inicial:

f ' x = 4 sen - 1 ⁡ 1 2 x ' + 4 - x 2 + x 4 - x 2 '

f ' x = 4 4 - x 2 + 4 - x 2 + x - x 4 - x 2

f ' x = 4 4 - x 2 + 4 - x 2 - x 2 4 - x 2

f ' x = 4 - x 2 4 - x 2 + 4 - x 2

Como

4 - x 2 = 4 - x 2 2

Teremos

f ' x = 4 - x 2 2 4 - x 2 + 4 - x 2

f ' x = 4 - x 2 + 4 - x 2

f ' x = 2 4 - x 2

Resposta

f ' x = 2 4 - x 2

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