Encontre a derivada da função dada:

f(t) = a \* sen^(-1)(t/a) + raiz(a^2 - t^2)

Passo 1

A nossa derivada vai ficar:

f ' t = a sen - 1 ⁡ t a + a 2 - t 2 ' = a sen - 1 ⁡ t a ' + a 2 - t 2 '

Temos que usar a regra da cadeia nos doi termos que faltam:

Fazendo

A t = a sen - 1 ⁡ t a

Chamei de A x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

A t = g w t

Com

g t = a sen - 1 ⁡ t

w t = t a

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

A ' t = g ' w t w ' t

Temos

g ' t = a 1 1 - t 2

Então

A ' x = a 1 1 - w t 2 w ' t

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de w t

w t = t a → w ' t = 1 a

Vamos ter

A ' t = a 1 1 - t a 2 1 a  

A ' t = 1 1 - t 2 a 2 = 1 a 2 - t 2 a 2 = 1 a 2 - t 2 a 2 = 1 a 2 - t 2 a = a a 2 - t 2

Passo 3

Fazendo

B t = a 2 - t 2

Chamei de B x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

B t = h m x

Com

h t = t = t 1 2

m t = a 2 - t 2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

B ' t = h ' m t m ' t

Temos

h ' t = 1 2   t - 1 2 = 1 2 t

Então

B ' t = 1 2 m t m ' t

Passo 4

Vamos finalizar achando a derivada de m t

m t = a 2 - y 2 → m ' t = - 2 t

Vamos ter

B ' t = 1 2 a 2 - t 2 - 2 t

B ' t = - t a 2 - t 2

Passo 5

Voltando para nossa função inicial:

f ' t = a sen - 1 ⁡ t a + a 2 - t 2 ' = a sen - 1 ⁡ t a ' + a 2 - t 2 '

f ' t = a a 2 - t 2 + - t a 2 - t 2

f ' t = a - t a 2 - t 2

Resposta

f ' t = a - t a 2 - t 2

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