Enunciado

7 – 46 Encontre a derivada da função.

11. f θ = cos ⁡ θ 2

Passo 1

Bora para mais uma?

No caso da função dada, f θ = cos ⁡ θ 2 , temos uma função composta em que a função externa é o cosseno e a função interna é   u = θ 2 .

A regra da cadeia nos diz que para encontrar a derivada da função composta, devemos multiplicar a derivada da função externa pela derivada da função interna.

Primeiro, calculamos a derivada da função externa, que é a derivada do cosseno.

A derivada do cosseno de u em relação a u   é - sin ⁡ u .

Em seguida, calculamos a derivada da função interna em relação a θ , que é simplesmente a derivada de θ 2 resultando em 2 θ

Finalmente, multiplicamos essas duas derivadas para obter a derivada da função composta em relação a θ .

Passo 2

A função interna é a seguinte:

u = h θ = cos ⁡ θ

E a externa é:

g u = u 2

A derivada de uma função composta:

y = f g θ

onde

g θ = u

vai ser igual a

g ' θ = d d u g u ⋅ d d θ h θ

Passo 3

Então a derivada da nossa função fica

g ' θ = d d u u 2 ⋅ d d θ cos ⁡ θ

A derivada do cosseno é menos o seno:

g ' θ = 2 u ⋅ - sen ⁡ θ

Como

u = h θ = cos ⁡ θ

então a derivada é igual a

g ' θ = - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Passo 4

Podemos simplificar mais uma pouco essa expressão tem uma relação trigonométrica que diz que

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Então

g ' θ = - sen ⁡ 2 θ

Resposta

g ' θ = - sen ⁡ 2 θ

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