Enunciado

Encontre y ' e y^(' ') :

47) y = cos ( x ² )

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... a questão quer que derivemos a seguinte função:

y = cos ( x ² )

Perceba que aqui podemos interpretar como uma função dentro de outra... veja que a gente pode fazer da seguinte forma:

y = cos u

Onde

u = x^2

Certinho até aí??

Nesse sentido, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra.

E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Que é dada da seguinte forma:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Depois que calcularmos a derivada, a questão pede para derivarmos novamente para encontrar a segunda derivada.

Passo 2

Vamos começar aplicando a Regra da Cadeia.

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar u com relação à x :

(d u)/(d x) = 2 x

Agora vamos derivar y em função de u para achar (d y)/(d u) :

(d y)/(d u) = - s e n u

Agora vamos colocar na derivada (d y)/(d x) :

(d y)/(d x) = - 2 x . s e n u

Substituindo u:

(d y)/(d x) = - 2 x . s e n ( x ² )

Sendo assim:

y ' = - 2 x . s e n ( x ² )

Passo 3

Agora temos a derivada primeira, e devemos derivá-la para obter a segunda. Aqui temos uma multiplicação, então:

f (x) = - 2 x

g (x) = s e n ( x ² )

Derivando:

f ' (x) = - 2

Para a função g também precisamos usar a Regra da Cadeia. Sendo assim:

g^' (x) = 2 x . cos ( x^2 )

Passo 4

Para realizar a derivada da multiplicação, temos que utilizar a Regra do Produto.

Seja u e v duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre essas duas funções é dada por:

(u * v)^' = u v^' + u^' v

Assim, aplicando a Regra do Produto:

y^(' ') = - 2 x . 2 x . cos (x^2) - 2 s e n ( x ² )

Reorganizando:

y^(' ') = - 4 x^2 . cos (x^2) - 2 s e n ( x ² )

Resposta

y ' = - 2 x . s e n ( x ² )

y^(' ') = - 4 x^2 . cos (x^2) - 2 s e n ( x ² )

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