Encontre y' e y^('')

47) y = cos(x^2)

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... a questão quer que derivemos a seguinte função:

y = cos ⁡ ( x ² )

Perceba que aqui podemos interpretar como uma função dentro de outra... veja que a gente pode fazer da seguinte forma:

y = cos ⁡ u

Onde

u = x 2

Certinho até aí??

Nesse sentido, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra.

E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Que é dada da seguinte forma:

d y d x = d y d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Depois que calcularmos a derivada, a questão pede para derivarmos novamente para encontrar a segunda derivada.

Passo 2

Vamos começar aplicando a Regra da Cadeia.

Vamos começar por d u d x . Então vamos derivar u com relação à x :

d u d x = 2 x

Agora vamos derivar y em função de u para achar d y d u :

d y d u = - s e n   u

Agora vamos colocar na derivada d y d x :

d y d x = - 2 x . s e n   u

Substituindo u:

d y d x = - 2 x . s e n   ( x ² )

Sendo assim:

y ' = - 2 x . s e n   ( x ² )

Passo 3

Agora temos a derivada primeira, e devemos derivá-la para obter a segunda. Aqui temos uma multiplicação, então:

f x = - 2 x

g x = s e n   ( x ² )

Derivando:

f ' x = - 2

Para a função g também precisamos usar a Regra da Cadeia. Sendo assim:

g ' x = 2 x . cos ⁡ ( x 2 )

Passo 4

Para realizar a derivada da multiplicação, temos que utilizar a Regra do Produto.

Seja u e v duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre essas duas funções é dada por:

u * v ' = u v ' + u ' v

Assim, aplicando a Regra do Produto:

y ' ' = - 2 x . 2 x . cos ⁡ x 2 - 2 s e n   ( x ² )

Reorganizando:

y ' ' = - 4 x 2 . cos ⁡ x 2 - 2 s e n   ( x ² )

Resposta

y ' = - 2 x . s e n   ( x ² )

y ' ' = - 4 x 2 . cos ⁡ x 2 - 2 s e n   ( x ² )

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