Enunciado

7 – 46 Encontre a derivada da função.

24. f t = 2 t 3

Passo 1

Fala aí, pessoal

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função

f t = 2 t 3

E pra resolver questões desse tipo, sempre vamos olhar com cuidado as carcterísticas da função para determinar qual é o melhor método de derivação.

No caso dessa função temos 2 elevado a t elevado a 3 , e isso indica uma função composta, pois temos uma função dentro da outra.

A função de fora seria uma função do tipo:

g h = 2 h

Mas no lugar do h temos outra função, que é a t 3 .

Podemos pensar nessa função como sendo uma

f t = g h t

e para derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro. Assim:

f ' t = g ' h t ⋅ h ' t

Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver isso acontecendo no passo a passo. Vem te te mostro tudinho!

Passo 2

Temos a função:

f t = 2 t 3

Aplicando a derivada na função, temos:

f ' t = d d t 2 t 3

Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

f t = g h t

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

f ' t = g ' h t ⋅ h ' t

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é a potencia de dois:

g h t = 2 h t

e sua derivada é tabelada e é igual a:

g ' h t = 2 h t ⋅ ln ⁡ 2

Já a função de dentro, a interna, é

h t = t 3

que derivando fica:

h ' t = 3 t 2

Show de bola. Agora já temos tudo que precisávamos para colocar na regra da cadeia.

Passo 3

Lembrando que

f ' t = g ' h t ⋅ h ' t

Então a derivada da função fica:

f ' t = 2 h t ⋅ ln ⁡ 2 ⋅ 3 t 2

Como h t = t 3 :

f ' t = 2 t 3 ⋅ ln ⁡ 2 ⋅ 3 t 2

E prontinho. Derivada calculada com sucesso.

Resposta

f ' t = 2 t 3 ⋅ ln ⁡ 2 ⋅ 3 t 2

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