7 – 46 Encontre a derivada da função.

39. f(t) = tg(sec(cos(t)))

Passo 1

Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver, inclusive vamos ter que usar duas vezez, a regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

f t = G g t

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

f ' t = G ' g t ⋅ g ' t

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é a tangente:

G g t = tg ⁡ g t

e sua derivada é:

G ' g t = sec 2 ⁡ g t

Já a função de dentro, a interna, é

g t = sec ⁡ cos ⁡ t

que para derivar também precisa da regra da cadeia.

Passo 2

Vamos derivar esse termo:

y = sec ⁡ cos ⁡ t

Vamos pensar na derivada dessa forma:

g ' t = H ' h t ⋅ h ' t

A função de fora, a externa, é a secante:

H h t = sec ⁡ h t

e sua derivada é:

H ' h θ = sec ⁡ h t ⋅ tg ⁡ h t

Já a função de dentro, a interna, é

h t = cos ⁡ t

Derivando h t

h ' t = - sen ⁡ t

Então a derivada da função fica:

g ' t = sec ⁡ h t ⋅ tg ⁡ h t ⋅ - sen ⁡ t

Como h t = cos ⁡ t :

g ' t = - sec ⁡ cos ⁡ t ⋅ tg ⁡ cos ⁡ t ⋅ sen ⁡ t

Passo 3

Voltando para a função principal, temos:

f ' t = G ' g t ⋅ g ' t

Sabemos que

G ' g t = sec 2 ⁡ g t

e

g ' t = - sec ⁡ cos ⁡ t ⋅ tg ⁡ cos ⁡ t ⋅ sen ⁡ t

Então nossa função fica:

f ' t = sec 2 ⁡ g t ⋅ - sec ⁡ cos ⁡ t ⋅ tg ⁡ cos ⁡ t ⋅ sen ⁡ t

Como g t = sec ⁡ cos ⁡ t , a derivada dessa função fica igual a

f ' t = - sec 2 ⁡ sec ⁡ cos ⁡ t ⋅ sec ⁡ cos ⁡ t ⋅ tg ⁡ cos ⁡ t ⋅ sen ⁡ t

Resposta

f ' t = - sec 2 ⁡ sec ⁡ cos ⁡ t ⋅ sec ⁡ cos ⁡ t ⋅ tg ⁡ cos ⁡ t ⋅ sen ⁡ t

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