Enunciado

7 – 46 Encontre a derivada da função.

39. f (t) = tg (sec (cos t))

Passo 1

Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver, inclusive vamos ter que usar duas vezez, a regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

f (t) = G (g (t))

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

f^' (t) = G^' (g (t)) * g^' (t)

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é a tangente:

G (g (t)) = tg (g (t))

e sua derivada é:

G^' (g (t)) = sec^2 (g (t))

Já a função de dentro, a interna, é

g (t) = sec (cos t)

que para derivar também precisa da regra da cadeia.

Passo 2

Vamos derivar esse termo:

y = sec (cos t)

Vamos pensar na derivada dessa forma:

g^' (t) = H^' (h (t)) * h^' (t)

A função de fora, a externa, é a secante:

H (h (t)) = sec (h (t))

e sua derivada é:

H^' (h (theta)) = sec (h (t)) * tg (h (t))

Já a função de dentro, a interna, é

h (t) = cos t

Derivando h (t)

h^' (t) = - sen t

Então a derivada da função fica:

g^' (t) = [sec (h (t)) * tg (h (t))] * (- sen t)

Como h (t) = cos t :

g^' (t) = - sec (cos t) * tg (cos t) * sen t

Passo 3

Voltando para a função principal, temos:

f^' (t) = G^' (g (t)) * g^' (t)

Sabemos que

G^' (g (t)) = sec^2 (g (t))

e

g^' (t) = - sec (cos t) * tg (cos t) * sen t

Então nossa função fica:

f^' (t) = sec^2 (g (t)) * (- sec (cos t) * tg (cos t) * sen t)

Como g (t) = sec (cos t) , a derivada dessa função fica igual a

f^' (t) = - sec^2 (sec (cos t)) * sec (cos t) * tg (cos t) * sen t

Resposta

f^' (t) = - sec^2 (sec (cos t)) * sec (cos t) * tg (cos t) * sen t

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Determine a derivada.g (t) = ln (2 t + 1)
Determine a derivada. x = e sen ⁡ t
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Determine a derivada.y = sec 3 x