Enunciado

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

f (x) = s e c h x ( 1 + ln sech x )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função f (x) = sech x ( 1 + ln sech x ) .

Repare que ela é uma composição de funções hiperbólicas e logarítmicas. Então, o que nós precisamos fazer é usar as regrinhas de derivação das funções hiperbólicas junto com a regra da cadeia:

(f (g (x)))^' = f^' (g (x)) * g^' ( x )

Observe que a gente tem um produto, da função sech x com a função ( 1 + ln sech x ) , e que essa segunda função é uma função composta, onde g (x) = sech x . Sacou?

Lembrando que a derivada da secante hiperbólica é dada por:

( sech x )^' = - sech x tanh x

Vamos lá!

Passo 2

Como primeiro a gente tem um produto, vamos começar aplicando a regra do produto na derivação ( (u * v)^' = u^' * v + u * v^' ):

f^' (x) = ( sech x )^' * (1 + ln sech x) + sech x * (1 + ln sech x)^'

Como ( sech x )^' = - sech x tanh x , temos:

f^' (x) = - sech x tanh x * (1 + ln sech x) + sech x * (1 + ln sech x)^'

Agora na derivada (1 + ln sech x)^' precisamos aplicar a regra da Cadeia. Então, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro. Assim, temos:

f^' (x) = - sech x tanh x * (1 + ln sech x) + sech x * ((1)/(sech x) * ( - sech x tanh x ))

Simplificando com a secante de dentro dos parênteses:

f^' (x) = - sech x tanh x * (1 + ln sech x) - sech x tanh x

E colocando - sech x tanh x em evidência:

f (x)^' = - sech x tanh x ( 1 + 1 + ln sech x )

f (x)^' = - sech x tanh x ( 2 + ln sech x )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f (x)^' = - sech x tanh x ( 2 + ln sech x )

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