Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

f(x) = sech x (1 + ln(sech x))

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função f x = sech ⁡ x ( 1 + ln ⁡ sech ⁡ x ) .

Repare que ela é uma composição de funções hiperbólicas e logarítmicas. Então, o que nós precisamos fazer é usar as regrinhas de derivação das funções hiperbólicas junto com a regra da cadeia:

f g x ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Observe que a gente tem um produto, da função sech ⁡ x com a função ( 1 + ln ⁡ sech ⁡ x ) , e que essa segunda função é uma função composta, onde g x = sech ⁡ x . Sacou?

Lembrando que a derivada da secante hiperbólica é dada por:

( sech ⁡ x ) ' = - sech ⁡ x tanh ⁡ x  

Vamos lá!

Passo 2

Como primeiro a gente tem um produto, vamos começar aplicando a regra do produto na derivação ( u ∙ v ' = u ' ∙ v + u ∙ v ' ):

f ' x = ( sech ⁡ x ) ' ∙ 1 + ln ⁡ sech ⁡ x + sech ⁡ x ∙ 1 + ln ⁡ sech ⁡ x '

Como ( sech ⁡ x ) ' = - sech ⁡ x tanh ⁡ x   , temos:

f ' x = - sech ⁡ x tanh ⁡ x   ∙ 1 + ln ⁡ sech ⁡ x + sech ⁡ x ∙ 1 + ln ⁡ sech ⁡ x '

Agora na derivada 1 + ln ⁡ sech ⁡ x ' precisamos aplicar a regra da Cadeia. Então, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro. Assim, temos:

f ' x = - sech ⁡ x tanh ⁡ x   ∙ 1 + ln ⁡ sech ⁡ x + sech ⁡ x ∙   1 sech ⁡ x   ∙ ( - sech ⁡ x tanh ⁡ x )

Simplificando com a secante de dentro dos parênteses:

f ' x = - sech ⁡ x tanh ⁡ x   ∙ 1 + ln ⁡ sech ⁡ x - sech ⁡ x tanh ⁡ x

E colocando - sech ⁡ x tanh ⁡ x em evidência:

f x ' = - sech ⁡ x tanh ⁡ x   ( 1 + 1 + ln ⁡ sech ⁡ x )

f x ' = - sech ⁡ x tanh ⁡ x   ( 2 + ln ⁡ sech ⁡ x )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f x ' = - sech ⁡ x tanh ⁡ x   ( 2 + ln ⁡ sech ⁡ x )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados