Enunciado

Mostre que (d)/(d x) (root(4)((1 + t g h x)/(1 - t g h x))) = (1)/(2) (e^((1)/(2) x)) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a derivada de root(4)((1 + tanh x)/(1 - tanh x)) é igual a (1)/(2) ( e^(x // 2) ) .

Pra verificar essa igualdade, vamos precisar calcular a derivada da primeira função. Observe que essa é uma função composta, que contém uma raiz e funções hiperbólicas dentro dela. E quando temos uma função composta, já sabemos que precisamos usar a regra da Cadeia na derivação:

(f (g (x)))^' = f ' ( g (x) * g^' ( x )

Que é a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

Mas antes de partir pra derivada, vamos relembrar que a derivada da tangente hiperbólica é dada por:

(tanh x)^' = sech^2 x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função da esquerda, usando a regra da Cadeia:

(root(4)((1 + tanh x)/(1 - tanh x)))^' = (1)/(4) ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^(- (3)/(4)) * ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^'

Agora calculando a derivada da função de dentro ( (1 + tanh x)/(1 - tanh x) ), usando a regra do quociente, temos:

= (1)/(4) ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^(- (3)/(4)) * ((sech^2 x (1 - tanh x) - (1 + tanh x) (- sech^2 x))/((1 - tanh x)^2))

Aplicando a propriedade distributiva nos produtos:

(1)/(4) ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^(- (3)/(4)) * ((sech^2 x - sech^2 x tanh x + sech^2 x + sech^2 x tanh x)/((1 - tanh x)^2))

Colocando sech^2 x em evidência no último termo:

(1)/(4) ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^(- (3)/(4)) * ((sech^2 x ( 1 - tanh x + 1 + tanh x ))/((1 - tanh x)^2))

Simplificando:

(1)/(4) ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^(- (3)/(4)) * ((sech^2 x ( 2 ))/((1 - tanh x)^2))

(1)/(4) ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^(- (3)/(4)) * ((2 sech^2 x)/((1 - tanh x)^2))

Usando a identidade hiperbólica sech^2 x = 1 - tanh^2 x :

(1)/(4) ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^(- (3)/(4)) * ((2 ( 1 - tanh^2 x ))/((1 - tanh x)^2))

Expandindo os produtos notáveis, temos:

(1)/(4) ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^(- (3)/(4)) * ((2 ( 1 + tanh x ) ( 1 - tanh x ))/(( 1 - tanh x ) ( 1 - tanh x )))

Simplificando dentro dos parênteses:

(1)/(4) ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^(- (3)/(4)) * 2 ((( 1 + tanh x ))/(1 - tanh x))

E simplificando as frações do lado de fora e os expoentes (já que agora temos a mesma base), ficamos com:

(1)/(2) ((1 + tanh x)/(1 - tanh x))^((1)/(4))

Passo 3

Mas, por definição, tanh x = (sinh x)/(cosh x) . Então, teremos:

(1)/(2) ((1 + (sinh x)/(cosh x))/(1 - (sinh x)/(cosh x)))^((1)/(4))

Além disso, sinh x = (e^x - e^(- x))/(2) e cosh x = (e^x + e^(- x))/(2) . E nossa expressão fica:

= (1)/(2) ((1 + (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)))/(1 - (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))))^((1)/(4))

Tirando o MMC:

= (1)/(2) (((2 e^x)/(e^x + e^(- x)))/((2 e^(- x))/(e^x + e^(- x))))^((1)/(4))

Simplificando:

= (1)/(2) (e^(2 x))^((1)/(4))

= (1)/(2) (e^((1)/(2) x))

Logo,

(d)/(d x) (root(4)((1 + t g h x)/(1 - t g h x))) = (1)/(2) (e^((1)/(2) x))

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(d)/(d x) (root(4)((1 + t g h x)/(1 - t g h x))) = (1)/(2) (e^((1)/(2) x))

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