Mostre que d/dx raiz[4]{(1 + tgh x) / (1 - tgh x)} = (1/2) e^(1/2 x) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a derivada de 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x 4 é igual a 1 2 ( e x / 2 ) .

Pra verificar essa igualdade, vamos precisar calcular a derivada da primeira função. Observe que essa é uma função composta, que contém uma raiz e funções hiperbólicas dentro dela. E quando temos uma função composta, já sabemos que precisamos usar a regra da Cadeia na derivação:

f g x ' = f ' ( g x ∙ g ' ( x )

Que é a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

Mas antes de partir pra derivada, vamos relembrar que a derivada da tangente hiperbólica é dada por:

tanh ⁡ x ' = sech 2 ⁡ x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função da esquerda, usando a regra da Cadeia:

1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x 4 ' = 1 4 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x - 3 4 ⋅ 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x '

Agora calculando a derivada da função de dentro ( 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x ), usando a regra do quociente, temos:

=   1 4 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x - 3 4 ⋅ sech 2 ⁡ x 1 - tanh ⁡ x - 1 + tanh ⁡ x - sech 2 ⁡ x 1 - tanh ⁡ x 2    

Aplicando a propriedade distributiva nos produtos:

1 4 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x - 3 4 ⋅ sech 2 ⁡ x - sech 2 ⁡ x tanh ⁡ x + sech 2 ⁡ x + sech 2 ⁡ x tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x 2

Colocando sech 2 ⁡ x em evidência no último termo:

1 4 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x - 3 4 ⋅ sech 2 ⁡ x ( 1 - tanh ⁡ x + 1 + tanh ⁡ x ) 1 - tanh ⁡ x 2

Simplificando:

1 4 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x - 3 4 ⋅ sech 2 ⁡ x ( 2 ) 1 - tanh ⁡ x 2

1 4 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x - 3 4 ⋅ 2 sech 2 ⁡ x 1 - tanh ⁡ x 2

Usando a identidade hiperbólica sech 2 ⁡ x = 1 - tanh 2 ⁡ x :

1 4 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x - 3 4 ⋅ 2 ( 1 - tanh 2 ⁡ x ) 1 - tanh ⁡ x 2

Expandindo os produtos notáveis, temos:

1 4 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x - 3 4 ⋅ 2 ( 1 + tanh ⁡ x ) ( 1 - tanh ⁡ x ) ( 1 - tanh ⁡ x ) ( 1 - tanh ⁡ x )

Simplificando dentro dos parênteses:

1 4 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x - 3 4 ⋅ 2 ( 1 + tanh ⁡ x ) 1 - tanh ⁡ x

E simplificando as frações do lado de fora e os expoentes (já que agora temos a mesma base), ficamos com:

1 2 1 + tanh ⁡ x 1 - tanh ⁡ x 1 4  

Passo 3

Mas, por definição, tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x . Então, teremos:

1 2 1 + sinh ⁡ x cosh ⁡ x 1 - sinh ⁡ x cosh ⁡ x 1 4

Além disso, sinh ⁡ x = e x - e - x 2 e cosh ⁡ x = e x + e - x 2 . E nossa expressão fica:

= 1 2 1 + e x - e - x e x + e - x 1 -   e x - e - x e x + e - x 1 4

Tirando o MMC:

=   1 2 2 e x e x + e - x 2 e - x e x + e - x 1 4

Simplificando:

= 1 2 e 2 x 1 4

= 1 2 e 1 2 x

Logo,

d d x 1 + t g h   x 1 - t g h   x 4 =   1 2 e 1 2 x

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d d x 1 + t g h   x 1 - t g h   x 4 =   1 2 e 1 2 x

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