Enunciado

Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . A seguir, determine os valores de x   para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1.

e x cos ⁡ x ≈ 1 + x

Passo 1

Vamos verificar a aproximação pela fórmula de linearização:

f x ≈ f a + f ' ( a ) ( x - a )

Vamos calcular a derivada então:

f ' x = e x cos ⁡ x - e x s e n   x

E temos que:

f 0 = 1       e   f ' 0 = 1

Substituindo, ficamos com:

f x ≈ 1 + 1 x - 0

f x ≈ 1 + x

Então, está verificada!

Passo 2

Para ter uma precisão de 0,1 , precisamos que:

e x cos ⁡ x - 0,1 < 1 + x < e x cos ⁡ x + 0,1

  • e x cos ⁡ x   - 0,1 < 1 + x   → e x cos ⁡ x < 1,1 + x → x > - 0,76
  • e x cos ⁡ x + 0,1 > 1 + x     → e x cos ⁡ x > 0,9 + x     →     x < 0,61

(podemos ver isso mais facilmente em um gráfico com as 3 funções)

Resposta

- 0,76 < x < 0,61

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