Ache a derivada da função dada:

f(x) = sech^(-1)(e^(-2x))

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função hiperbólica inversa com uma exponencial, daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função hiperbólica inversa (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada:

( sech - 1 ⁡ x ) ' = - 1 x 1 - x 2                       - 0 < x < 1

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( sech - 1 ⁡ x ) ' = - u ' u 1 - u 2                       - 0 < u < 1

Passo 2

No nosso exemplo, f x = sech - 1 ⁡ e - 2 x ⏟ u , logo u = e - 2 x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com:

f ' x = ( ⁡ sech - 1 ⁡ e - 2 x ) ' = - e - 2 x ' e - 2 x 1 - e - 2 x 2 = - ( e - 2 x ) ' e - 2 x 1 - e - 4 x

Passo 3

Agora precisamos da derivada de e - 2 x .

Devemos lembrar que e x ' = e x , porém temos, no nosso exemplo, - 2 x no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia.

( e - 2 x ⁡ ) ' = e - 2 x ⋅ ( - 2 x ) ' = - 2 e - 2 x ⋅

Aqui foi utilizada a derivada a x ' = a com n = - 2 .

Passo 4

Substituindo a derivada ( e - 2 x ⁡ ) ' = - 2 e - 2 x em:

f' x ⁡ = - e - 2 x ' e - 2 x 1 - e - 4 x = - - 2 e - 2 x e - 2 x 1 - e - 4 x = - - 2 1 - e - 4 x = 2 1 - e - 4 x

f ' x = 2 1 - e - 4 x = 2 1 - 1 e 4 x = 2 e 4 x - 1 e 4 x = 2 e 4 x - 1 e 2 x = 2 e 2 x e 4 x - 1

Encerramos aqui.

Resposta

f ' x = 2 e 2 x e 4 x - 1

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