Enunciado

Ache a derivada da função dada:

f (x) = sech^(- 1) (e^(- 2 x))

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função hiperbólica inversa com uma exponencial, daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função hiperbólica inversa (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada:

( sech^(- 1) x ) ' = - (1)/(x sqrt(1 - x^2)) - 0 < x < 1

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( sech^(- 1) x ) ' = - (u ')/(u sqrt(1 - u^2)) - 0 < u < 1

Passo 2

No nosso exemplo, f (x) = sech^(- 1) underset(u)(ubrace (e^(- 2 x))) , logo u = e^(- 2 x) e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com:

f ' (x) = ( sech^(- 1) (e^(- 2 x)) ) ' = - ((e^(- 2 x)) ')/(e^(- 2 x) sqrt(1 - (e^(- 2 x))^2)) = - (( e^(- 2 x) ) ')/(e^(- 2 x) sqrt(1 - e^(- 4 x)))

Passo 3

Agora precisamos da derivada de e^(- 2 x) .

Devemos lembrar que (e^x) ' = e^x , porém temos, no nosso exemplo, - 2 x no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia.

( e^(- 2 x) ) ' = e^(- 2 x) * ( - 2 x ) ' = - 2 e^(- 2 x) *

Aqui foi utilizada a derivada (a x) ' = a com n = - 2 .

Passo 4

Substituindo a derivada ( e^(- 2 x) ) ' = - 2 e^(- 2 x) em:

f' (x) = - ((e^(- 2 x)) ')/(e^(- 2 x) sqrt(1 - e^(- 4 x))) = - (- 2 e^(- 2 x))/(e^(- 2 x) sqrt(1 - e^(- 4 x))) = - (- 2)/(sqrt(1 - e^(- 4 x))) = (2)/(sqrt(1 - e^(- 4 x)))

f ' (x) = (2)/(sqrt(1 - e^(- 4 x))) = (2)/(sqrt(1 - (1)/(e^(4 x)))) = (2)/(sqrt((e^(4 x) - 1)/(e^(4 x)))) = (2)/((sqrt(e^(4 x) - 1))/(e^(2 x))) = (2 e^(2 x))/(sqrt(e^(4 x) - 1))

Encerramos aqui.

Resposta

f ' (x) = (2 e^(2 x))/(sqrt(e^(4 x) - 1))

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