Enunciado

Encontre d y // d x derivando implicitamente.

x^4 (x + y) = y^2 ( 3 x - y )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar implicitamente a função:

x^4 (x + y) = y^2 ( 3 x - y )

Assim, vamos derivar a equação dada com relação a x , lembrando que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, usamos a regra da cadeia para derivar na forma:

(f (y))^' = f^' (y) * y '

E derivamos os termos com x normalmente, usando a regrinha da potência ( (x^n)^' = n x^(n - 1) ).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a propriedade distributiva nos produtos da nossa equação:

x^4 (x + y) = y^2 (3 x - y)

x^5 + x^4 y = 3 x y^2 - y^3

Agora derivando essa equação, implicitamente, em relação a x , vamos ter:

5 x^4 + 4 x^3 * y + x^4 * y^' = 3 * y^2 + 3 x * 2 y * y^' - 3 y^2 * y '

Repare que aplicamos também a regra do produto na derivada dos termos. Assim, ficamos com:

5 x^4 + 4 x^3 y + x^4 y^' = 3 y^2 + 6 x y y^' - 3 y^2 y '

Passo 3

Então, isolando y ' , temos que:

y^' (x^4 - 6 x y + 3 y^2) = 3 y^2 - 5 x^4 - 4 x^3 y

y^' = (3 y^2 - 5 x^4 - 4 x^3 y)/(x^4 - 6 x y + 3 y^2)

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y^' = (3 y^2 - 5 x^4 - 4 x^3 y)/(x^4 - 6 x y + 3 y^2)

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