Enunciado

a) Encontre y ' derivando implicitamente.

b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .

c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para y em sua solução para a parte (a).

1 x + 1 y = 1

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a equação

1 x + 1 y = 1

E temos que, no item a), derivar y implicitamente, no item b), isolar y em um lado da equação e calcular a derivada explicitamente e no item c) comparar as soluções.

Parece complicado?

Este é uma questão importante pois compara dois métodos distintos de derivação: as derivadas implícita e explícita.

A derivada implicita de uma função é obtida a partir da regra da cadeia... o macete é que na hora de derivar um termo y acrecesntamos um termo y '

E a derivada explicita é o que já estamos acostumados a calcular... isolamos y em um lado da equação e derivamos normalmente.

Bora lá!

Passo 2

Primeiramente vamos reorganizar nossa equação

1 x + 1 y = 1 → x - 1 + y - 1 = 1

Vamos derivar essa equação implicitamente...

d x - 1 + y - 1 d x = d 1 d x

d x - 1 d x + d y - 1 d x = d 1 d x

Aplicando a regra da cadeia na derivada de y - 1 derivamos normalmente em relação a y e acrescentamos um termo y '

d x - 1 d x + d y - 1 d y · y ' = d 1 d x

Finalmente calculando as derivadas...

d x - 1 d x + d y - 1 d y · y ' = d 1 d x

- 1 ⋅ x - 2 + - 1 ⋅ y - 2 ⋅ y ' = 0

- x - 2 - y - 2 y ' = 0

Isolando y ' , temos que

y - 2 y ' = - x - 2

y ' = - x - 2 y - 2

y ' = - y 2 x 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Neste passo vamos resolver parte do item (b). Vamos isolar y em função de x na equação fornecida:

1 x + 1 y = 1 → 1 y = 1 - 1 x =   x - 1 x

Multiplicando em cruz:

y x - 1 = x

Assim, temos que

y = x x - 1

Chegamos em uma fração então derivamos a expressão encontrada pela regra do quociente:

y = f g ,     y ' = f ' · g - f · g ' g 2

Ou seja

y ' = x ' ⋅ x - 1 - x ⋅ x - 1 ' x - 1 2 = x - 1 - x x - 1 2

y ' = - 1 x - 1 2

Show?

Passo 4

Para encerrar, vamos fazer o item (c).

Substituindo a expressão encontrada para y no passo 3 na expressão encontrada y ' no passo 2, temos que:

y ' = - y 2 x 2

y ' = - x x - 1 2 x 2 = - x 2 x 2   x - 1 2

Assim, temos que

y ' = - 1 x - 1 2

que de fato é a expressão encontrada no passo 3 (item (b)).

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

a) y ' = - y 2 x 2

b) y = x x - 1 e y ' = - 1 x - 1 2

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Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoi) x e y + x y = 3
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãom) 2 y + sen ⁡ y = x
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoc) x y 2 + 2 y = 3
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãog) x 2 + y 2 + 2 y = 0