Enunciado

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

x 2 + x y + y 2 = 3 , ( 1,1 ) (elipse)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por:

x 2 + x y + y 2 = 3

No ponto 1,1 .

Assim, para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação.

Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde m representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta) e x 0 , y 0 , os pontos dados.

Para a reta tangente, m será a derivada de y com relação a x , isto é, y ' no ponto de tangência.

Assim, para encontrar m , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando a equação implicitamente com relação a x :

2 x + 1 ⋅ y + x ⋅ y ' + 2 y ⋅ y ' = 0

Então,

2 x + y + x y ' + 2 y y ' = 0

Passo 3

Como o ponto de interesse é x 0 ,   y 0 = ( 1,1 ) , devemos substituir x = 1 e y = 1 na equação encontrada no passo 2:

2 ⋅ 1 + 1 + 1 ⋅ y ' + 2 ⋅ 1 ⋅ y ' = 0

2 + 1 + y ' + 2 y ' = 0

3 y ' = - 3

y ' = - 1

Assim, o coeficiente angular da reta tangente será m = - 1 .

Passo 4

Agora basta substituir o ponto e a inclinação na equação da reta:

y - 1 = - 1 ⋅ ( x - 1 )

y - 1 = - x + 1

y = - x + 2

Entendeu direitinho??? Responde aee 😉

Resposta

y = - x + 2

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Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. 2x 2 + y 2 2 = 25( x 2 - y 2 ) , ( 3 , 1 ) (lemniscata)
a) A curva com equação y 2 = 5 x 4 - x 2 é chamada kampyle de Eudoxo. Ecnontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1,2 ) .b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tan