Encontre dy/dx derivando implicitamente.

xy = cotg xy

Passo 1

A questão dá uam equação que fornece y implicitamente como função de x . Devemos então derivá-la implicitamente para obter y ' .

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, f y ' = f ' y ⋅ y ' .

Derivando a equação x y = c o t g   x y com relação a x , temos que

1 ⋅ y + x ⋅ y ' = - c o s s e c 2 x y ⋅ ( x y ) '

Assim,

y + x y ' = - c o s s e c 2 x y ⋅ ( y + x y ' )

*Lembrando que a derivada da cotangente é menos cossecante ao quadrado!!!

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y + x y ' = - y   c o s s e c 2 x y - x   c o s s e c 2 x y     y '

y ' x + x   c o s s e c 2 x y = - y   c o s s e c 2 x y - y

y ' = - y   1 + c o s s e c 2 x y x   1 + c o s s e c 2 x y = - y x

Resposta

R: y ' = - y x

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