Enunciado

Encontre d y // d x derivando implicitamente.

x y = c o t g x y

Passo 1

A questão dá uam equação que fornece y implicitamente como função de x . Devemos então derivá-la implicitamente para obter y ' .

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, (f (y))^' = f^' (y) * y ' .

Derivando a equação x y = c o t g x y com relação a x , temos que

1 * y + x * y^' = - c o s s e c^2 x y * ( x y ) '

Assim,

y + x y^' = - c o s s e c^2 x y * ( y + x y^' )

*Lembrando que a derivada da cotangente é menos cossecante ao quadrado!!!

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y + x y^' = - y c o s s e c^2 x y - x c o s s e c^2 x y y '

y^' (x + x c o s s e c^2 x y) = - y c o s s e c^2 x y - y

y^' = - (y (1 + c o s s e c^2 x y))/(x (1 + c o s s e c^2 x y)) = - (y)/(x)

Resposta

R: y^' = - (y)/(x)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

51. Verifique que os seguintes pares de curvas se encontrem ortogonalmente.b) x = 1 - y 2 ,x = 1 3 y ² ²
27. Se x 3 + y 3 = 16 , determine o valor de d ² y d x ² ² ² no ponto (2,2).
Use a derivação implícita para determinar d y d x nos Exercícios 1-16.16. e x ² y = 2 x + 2 y ²
O gráfico de y 2 = x ³ ³, mostrado na figura a seguir, é chamado de parábola semicúbica. Determine a constante b , de modo que a reta y = - 1 3 x + b intercepte esse gráfico ortogonalmente.
Determine d r d θ nos Exercícios 17-20.20. cos ⁡ r + c o t g θ = e r θ