Encontre dy/dx derivando implicitamente.

sen x + cos y = sen x cos y

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a derivada implícita da seguinte expressão:

s e n   x + cos ⁡ y = s e n   x cos ⁡ y

Bom... é dada uma equação que exprime y implicitamente como função de x e é solicitado a derivada de y com relação a x que deve ser obtida por derivação implícita.

Assim, a resposta é dado tanto em função de x como de y (que depende implicitamente de x ).

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Assim, f y ' = f ' y ⋅ y ' .

Derivando a equação s e n   x + cos ⁡ y = s e n   x cos ⁡ y com relação a x , temos que:

cos ⁡ x - s e n   y ⋅ y ' = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y + s e n   x ⋅ - s e n   y ⋅ y '

Assim,

cos ⁡ x - s e n   y   y ' = cos ⁡ x cos ⁡ y - s e n   x   s e n   y   y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y ' s e n   x   s e n   y - s e n   y = cos ⁡ x cos ⁡ y - cos ⁡ x

y ' = cos ⁡ x   ( cos ⁡ y - 1 ) s e n   y   ( s e n   x - 1 )

Resposta

y ' = cos ⁡ x   ( cos ⁡ y - 1 ) s e n   y   ( s e n   x - 1 )

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