Enunciado

Encontre d y // d x por derivação implícita.

sqrt(x + y) = 1 + x^2 y^2

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar implicitamente a seguinte expressão:

sqrt(x + y) = 1 + x^2 y^2

Mas o que é a derivada implícita???

Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.

Em outras palavras, para encontrar (d y)/(d x) de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a x .

No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para y , você tratará y como uma função implícita de x e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Lembrando que a regra da cadeia é dada por:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Assim, pela regra da cadeia, temos que:

(f (y))^' = f^' (y) * y '

Derivando a equação (x + y)^(1 // 2) = 1 + x^2 y^2 com relação a x , temos que

(1)/(2) (x + y)^(- 1 // 2) * (x + y)^' = 2 x * y^2 + x^2 * 2 y * y '

Assim,

(1)/(2 sqrt(x + y)) (1 + y^') = 2 x y^2 + 2 x^2 y y '

Multiplicando em cruz:

1 + y^' = 4 x y^2 sqrt(x + y) + 4 x^2 y sqrt(x + y) y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y^' (1 - 4 x^2 y sqrt(x + y)) = 4 x y^2 sqrt(x + y) - 1

y^' = (4 x y^2 sqrt(x + y) - 1)/(1 - 4 x^2 y sqrt(x + y))

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y^' = (4 x y^2 sqrt(x + y) - 1)/(1 - 4 x^2 y sqrt(x + y))

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