Enunciado

Encontre as dimensões de um cilindro circular reto com a maior área de superfície que pode ser inscrito em uma esfera de raio R .

Passo 1

Vamos definir as variáveis do nosso problema, ok? Temos que r é o raio do cilindro inscrito, R é o raio da esfera e h é a altura do nosso cilindro. A área de superfície total do cilindro circular reto é:

S = 2 π r h + 2 π r 2

Aqui vale notar que R e r formam um triângulo retângulo com altura h 2 . Sendo assim, pelo teorema de Pitágoras teremos:

r 2 + h 2 2 = R 2

Isolando h :

h 2 2 = R 2 - r 2

h 2 = 4 R 2 - 4 r 2

∴ h = 2 R 2 - r 2

Substituindo em S :

S = 4 π r R 2 - r 2 + 2 π r 2

Passo 2

Ok, encontramos uma expressão que determina a área de superfície de um cilindro circular reto inscrito em uma esfera de raio R . Note que nossa variável aqui é r e não R , pois o raio da esfera é constante e estamos querendo determinar as dimensões máximas do cilindro! Derivando nossa expressão, teremos:

d S d r = 4 π R 2 - 2 r 2 R 2 - r 2 + 4 π r

Igualando nossa derivada a zero:

4 π R 2 - 2 r 2 R 2 - r 2 + 4 π r = 0

R 2 - 2 r 2 R 2 - r 2 = - r

R 2 - 2 r 2 = - r R 2 - r 2

Elevando ambos os lados ao quadrado, teremos:

R 4 - 4 R 2 r 2 + 4 r 4 = r 2 R 2 - r 2

5 r 4 - 5 R 2 r 2 + R 4 = 0

Que é uma equação biquadrada! Então vamos focar em resolver essa equação agora, beleza?

Passo 3

Vamos chamar r 2 de x , ok? Se fizermos isso, teremos:

x = r 2

5 x 2 - 5 R 2 x + R 4 = 0

Utilizando Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = 5 R 2 ± - 5 R 2 2 - 4 . 5 . R 4 2 . 5 = 5 R 2 ± 5 R 2 10

E essas são nossas raízes! Agora voltando para a variável r , teremos:

x = r 2

r = ± 5 ± 5 10 R

Ok, show!

Passo 4

Primeira observação: não faz sentido termos um raio negativo, então nosso r será:

r = 5 ± 5 10 R

Ademais, queremos valores máximos para S , logo:

r = 5 + 5 10 R

Se essa é a dimensão de r para que S seja maximizado, então a dimensão de h será:

h = 2 R 2 - r 2

h = 2 R 2 - 5 + 5 10 R 2

h = 2 R 1 - 5 + 5 10 = 2 R 5 - 5 10

E esse é nosso resultado, pessoal! 😉

Resposta

As dimensões para que a área de superfície seja maximizada são:

r = 5 + 5 10 R

h = 2 R 5 - 5 10

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