Enunciado

Uma lata cilíndrica aberta em cima deve conter 500   c m 3 de líquido. Encontre a altura e o raio que minimizam a quantidade de material necessário para confeccioná-la.

Passo 1

Então pessoal, de início o que devemos fazer é definir quais são as variáveis do nosso problema, tudo bem? Temos que h é a altura da lata cilíndrica, r é seu raio e V seu volume. A área de superfície de um cilindro circular reto (que é a geometria da nossa lata) é dada por:

S = 2 π r h + π r 2

E o volume é dado pelo produto entre a área da base a altura. Como a área da base é uma circunferência, então:

V = π r 2 h = 500

Isolando h :

h = 500 π r 2

Substituindo na expressão de S , teremos:

S = 2 π r 500 π r 2 + π r 2

S = 1000 r + π r 2

Passo 2

Como estamos interessados nos valores de r e h que minimizam a quantidade de material necessário para confeccionar a lata, então vamos utilizar as noções de cálculo, saca só:

d S d r = - 1000 r 2 + 2 π r

Igualando nossa derivada a zero:

- 1000 r 2 + 2 π r = 0

1000 r 2 = 2 π r

r 3 = 500 π

∴ r = 500 π 3   c m

Então esse é nosso valor de r que minimiza o custo de produção da lata!

Passo 3

Agora que encontramos r mínimo, basta substituirmos o resultado que encontramos na expressão de h do passo 1, se liga:

h = 500 π r 2

h = 500 π 500 π 3 2 = 500 π 500 2 3 π 2 3

∴ h = 500 π 3   c m

E essas são as dimensões procuradas, galera! 😊

Resposta

r = 500 π 3   c m

h = 500 π 3   c m

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