Enunciado

Encontre as dimensões do retângulo com área máxima que pode ser inscrito em um círculo com raio de 10 cm

Passo 1

Uma imagem pode nos ajudar a raciocinar melhor sobre qual é a nossa situação:

Esse é um típico exercício de otimização. O cálculo diferencial é uma ferramenta que nos ajuda muito na resolução desses casos, tão recorrentes no dia a dia.

Nesse caso, queremos inserir um retângulo com a maior área possível dentro dessa círculo, de raio igual a 10   c m .

Passo 2

Agora, temos que a área A do retângulo é dada pelo produto dos seus lados. Vamos assumir que x seja a base e y a altura. Teremos:

A = x ∙ y

Nisso, precisamos escrever a área desse retângulo em função apenas de uma variável. No caso, vamos buscar escrever apenas em função de x , pra termos uma A ( x ) .

Como correlacionamos x e y então?

Bom, nesse caso, a gente tem que a diagonal do retângulo equivale a dois raios do círculo de comprimento. Logo, a diagonal mede 20   c m .

Por Pitágoras podemos correlacionar a base x e a altura y pela seguinte expressão:

20 2 = x 2 + y 2

Isolamos y 2 e teremos:

y 2 = 400 - x 2

y = + 400 - x 2

Agora, pegamos essa expressão pra y e substituímos na equação pra área do círculo. Teremos:

A x = x ∙ 400 - x 2

Passo 3

Agora temos uma função que descreve a nossa área.

Queremos o ponto de máximo, que vai nos dar a maior área. E como fazer isso?

Se você ainda não sabe, ou talvez não lembre, mas um dos teoremas do Cálculo (Teorema de Fermat) diz que, nos pontos de máximo e de mínimo de uma função (quando possui) a derivada se anula.

Logo, podemos pegar A ( x ) , derivar e igualar a zero! Os valores de x que acharmos atribuídos a essa derivada nula vão ser os pontos de máximo e mínimo.

Nisso, cabe a nós distinguir qual é qual, aplicando esses valores na função original e verificando qual nos dá o maior valor. Vai ser esse o nosso ponto de máximo!

Passo 4

Derivando, temos:

A ' x = - 2 x 2 + 400 400 - x 2

Igualamos isso a zero:

- 2 x 2 + 400 400 - x 2 = 0

- 2 x 2 + 400 = 0

2 x 2 = 400

x 2 = 2 00

x = ± 200 = ± 10 2

Dentre + 10 2 e = - 10 2 , o que nos dá o ponto de máximo é x = + 10 2 , pois faz com que A ( x ) seja positivo, e valha seu maior valor.

Então, a base do retângulo deve medir 10 2   c m pra que tenhamos a maior área possível.

E a altura? Calculamos pela expressão pra y que já temos:

y = 400 - 200 2

y = 400 - 200 = 200 = 10 2

Ou seja, no fim das contas x e y têm o mesmo comprimento, que faz com que o retângulo seja, na verdade, um quadrado!

Resposta

As dimensões são x = y = 10 2   c m .

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