Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 46
Para um peixe nadando a uma velocidade em relação à água, a energia gasta por unidade de tempo é proporcional a . Acredita-se que os peixes migratórios tentam minimizar a energia total necessária para nadar a uma distância fixa. Se o peixe estiver nadando contra uma corrente , então o tempo necessário para nadar a uma distância é e a energia total requerida para nadar a distância é dada por onde é uma constante de proporcionalidade.
- Determine o valor de que minimiza .
- Esboce o gráfico de
Observação: Esse resultado foi verificado experimentalmente; peixes migratórios nadam contra a corrente a uma velocidade maior que a velocidade corrente.
Passo 1
Opa! Eita enunciadozinho complicado, mas vamos entender melhor! Resumindo, o tempo que um peixe leva pra nadar uma distância quando ele nada contracorrente é:
A energia que ele gasta pra nadar essa distância é:
Onde é uma constante e e são variáveis para a velocidade do peixe e velocidade da correnteza respectivamente.
O enunciado pede pra a gente determinar o valor de que minimiza , ou seja, qual é a velocidade que o peixe pode nadar gastando menor energia. Bora colocar a mão na massa?!
Passo 2
Precisamos derivar e igualar a zero para achar um possível valor mínimo:
e são constantes, beleza?! Utilizando a regra do quociente:
Para termos fazemos:
Lembrando que não poderíamos fazer uma vez que . Então, é a velocidade que minimiza
Ahh, no enunciado temos a seguinte observação “Esse resultado foi verificado experimentalmente; peixes migratórios nadam contra a corrente a uma velocidade maior que a velocidade corrente”.
Então o nosso resultado esta certo! \o/
Passo 3
Agora temos que esboçar o gráfico. Para isso vamos analisar a função:
Quando tende a tende a infinito, então teremos uma assíntota vertical. Sabemos que o gráfico não toca o eixo, pois a energia nem a velocidade podem ser igual a zero e além disso como é sempre positivo e maior que o nosso gráfico será sempre crescente.
Ahh, ali em cima calculamos o ponto mínimo também. Juntando todas essas informações chegamos em:
Resposta
- Gráfico acima.