Enunciado

Para um peixe nadando a uma velocidade v em relação à água, a energia gasta por unidade de tempo é proporcional a v ³ . Acredita-se que os peixes migratórios tentam minimizar a energia total necessária para nadar a uma distância fixa. Se o peixe estiver nadando contra uma corrente u ( u < v ) , então o tempo necessário para nadar a uma distância L é L / ( v - u ) e a energia total E requerida para nadar a distância é dada por E v = a v 3 L v - u   onde a é uma constante de proporcionalidade.

  1. Determine o valor de v que minimiza E .
  2. Esboce o gráfico de E

Observação: Esse resultado foi verificado experimentalmente; peixes migratórios nadam contra a corrente a uma velocidade 50 % maior que a velocidade corrente.

Passo 1

Opa! Eita enunciadozinho complicado, mas vamos entender melhor! Resumindo, o tempo que um peixe leva pra nadar uma distância L quando ele nada contracorrente é:

t L = L v - u   p a r a   u < v

A energia que ele gasta pra nadar essa distância é:

E v = a v 3 L v - u

Onde a é uma constante e v e u são variáveis para a velocidade do peixe e velocidade da correnteza respectivamente.

O enunciado pede pra a gente determinar o valor de v que minimiza E , ou seja, qual é a velocidade que o peixe pode nadar gastando menor energia. Bora colocar a mão na massa?!

Passo 2

Precisamos derivar E e igualar a zero para achar um possível valor mínimo:

E v = a v 3 L v - u

a e L são constantes, beleza?! Utilizando a regra do quociente:

E ' v = 3 L a v 2 v - u - L a v 3 v - u 2

E ' v = L a v 2 3 v - 3 u - v v - u 2 = L a v 2 2 v - 3 u v - u 2

Para termos E ' v = 0 fazemos:

2 v - 3 u = 0

v = 1,5 u

Lembrando que não poderíamos fazer v = 0 uma vez que v > u . Então, 1,5   u é a velocidade que minimiza E .

Ahh, no enunciado temos a seguinte observação “Esse resultado foi verificado experimentalmente; peixes migratórios nadam contra a corrente a uma velocidade 50 % maior que a velocidade corrente”.

Então o nosso resultado esta certo! \o/

Passo 3

Agora temos que esboçar o gráfico. Para isso vamos analisar a função:

E v = a v 3 L v - u

Quando v tende a u E ( v ) tende a infinito, então teremos uma assíntota vertical. Sabemos que o gráfico não toca o eixo, pois a energia nem a velocidade podem ser igual a zero e além disso como v é sempre positivo e maior que u o nosso gráfico será sempre crescente.

Ahh, ali em cima calculamos o ponto mínimo também. Juntando todas essas informações chegamos em:

Resposta

  1. v = 1,5   u
  2. Gráfico acima.
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