Enunciado

Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E   volts com resistência interna de r ohms, então a potência (em watts) no resistor externo é

P = E 2 R R + r 2

Se E   e r forem fixados, mas R variar, qual é o valor mínimo da potência?

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... a questão nos dá a seguinte fórmula para a potência P (em watts) nem um resistor:

P = E 2 R R + r 2

Onde E é a força eletromotriz da pilha, R é a resistência do resistor e r é a resistência interna da pilha.

O exercício quer que a gente minimize a potência.

Para isso, como R é a única variável que não está fixa, vamos derivar em função dela e depois igualar a zero.

E aí? Bora lá?? 😉

Passo 2

Derivando, temos:

P ' R = R + r 2 E 2 - E 2 R * 2 R + r R + r 2 2 ∴

P ' R = R 2 + 2 R r + r 2 E 2 - 2 E 2 R 2 - 2 E 2 R r R + r 4 ∴

P ' R = E 2 r 2 - E 2 R 2 R + r 4 ∴

P ' R = E 2 r 2 - R 2 R + r 4 ∴

P ' R = E ² ( r + R ) ( r - R ) R + r 4 ∴

P ' R = E ² ( r - R ) R + r 3

Passo 3

Igualando a derivada a zero para encontramos o valor mínimo de potência, temos:

E 2 r - R R + r 3 = 0 ∴

r = R

Logo, vemos que P ' ( R ) é igual a zero (mínimo) quando R = r , então:

P R = E 2 r r + r 2

P R = E 2 4 r

Resposta

P R m í n i m o = E 2 4 r

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