Enunciado

Encontre a distância percorrida por uma partícula com posição ( x , y ) quando t   varia em um dado intervalo de tempo. Compare com o comprimento da curva.

51. x = s e n 2 t ,     y = cos 2 t ,      0 ≤ t ≤ 3 π ⁡ o

Passo 1

Nessa questão, precisamos encontrar a distância percorrida por uma partícula e o comprimento da curva percorrida por ela. Mas qual a diferença entre as duas coisas?

Bom, a curva completa é percorrida quando t vai de 0 a π / 2 , pois a curva é o segmento de x + y = 1 que se encontra no primeira quadrante (desde que x , y ≥ 0 ) , e este segmento é completamente percorrido quando t vai de 0   a π / 2 .

Já a distância percorrida pela partícula se da quando t vai de 0 a 3 π , então nossa distância será

D = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

D = ∫ 0 3 π 2 s e n t c o s t 2 + - 2 c o s t s e n t 2   d t

D = ∫ 0 3 π 8 s e n 2 t c o s 2 t   d t

D = ∫ 0 3 π 2 s e n 2 2 t   d t

D = ∫ 0 3 π 2 s e n   2 t d t = 6 2 ∫ 0 π 2 s e n 2 t d t

- 3 2 - 1 - 1 = 6 2

Então a distância percorrida pela partícula é 6 2 .

Agora, o que muda para o comprimento da curva é apenas o limite de integração:

L = ∫ 0 π 2 s e n 2 t d t = 2

Resposta

  L = 2         D = 6 2

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