Enunciado

Trace a curva e calcule seu comprimento.

46. x = cos t + ln (t g (1)/(2) t) , y = s e n t , - pi // 4 <= t <= 3 pi // 4

Passo 1

Queremos esboçar a curva que tem as equações paramétricas dadas. Bom, para fazer isso, vamos criar uma tabelinha de valores que relacionam t , x e y , aí poderemos plotar esses pontos no gráfico.

Assim, quando t = 0 , por exemplo, teremos x = cos 0 + ln ( t g 0 ) = 1 e y = s e n 0 = 0 . Fazemos o mesmo para os outros valores de t , e montamos a seguinte tabela:

Show! Agora só precisamos colocar esses pontos em um gráfico e traçar uma linha unindo eles.

Passo 2

Passo 3

Agora nós queremos calcular o comprimento dessa curva. Sabemos que o comprimento L de uma curva pode ser calculado pela integral:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Então mãos à obra! Vamos calcular (d x)/(d t) .

(d x)/(d t) = - s e n t + (((1)/(2) sec^2 (1)/(2) t)/(tan (1)/(2) t)) = - s e n t + (1)/(s e n t)

(d y)/(d t) = cos t

L = int_(pi // 4)^(3 pi // 4) sqrt((- s e n t + (1)/(s e n t))^2 + (cos t)^2) d t

L = int_(pi // 4)^(3 pi // 4) sqrt(s e n^2 t - 2 + csc^2 t + cos^2 t) d t

L = int_(pi // 4)^(3 pi // 4) sqrt(1 - 2 + csc^2 t) d t

L = int_(pi // 4)^(3 pi // 4) sqrt(csc^2 t - 1 ) d t

L = int_(pi // 4)^(3 pi // 4) sqrt(cot^2 t ) d t

L = int_(pi // 4)^(3 pi // 4) | cot t | d t

= int_(pi // 4)^(pi // 2) cot t d t + int_(pi // 2)^(3 pi // 4) - cot t d t

= int_(pi // 4)^(pi // 2) cot t d t - int_(pi // 2)^(3 pi // 4) cot t d t

= [ ln | s e n t | ]_(pi // 2)^(pi // 4) - [ ln | s e n t | ]_(pi // 2)^(3 pi // 4)

= ln (1) - ln ((sqrt(2))/(2)) - ln ((sqrt(2))/(2)) + ln ( 1 )

= - 2 ln ((sqrt(2))/(2))

ln ((sqrt(2))/(2))^(- 2) = ln 2

Então o comprimento dessa curva é L = ln 2

Resposta

L = l n 2

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