Enunciado

Encontre a distância percorrida por uma partícula com posição ( x , y ) quando t   varia em um dado intervalo de tempo. Compare com o comprimento da curva.

52. x = cos 2 ⁡ t ,     y = cos  t ,      0 ≤ t ≤ 4 π ⁡

Passo 1

Oii, tudo certinho?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:

x = cos 2 ⁡ t ,     y = c o s   t

Nessa questão, precisamos encontrar a distância percorrida por uma partícula no intervalo 0 ≤ t ≤ 4 π e o comprimento da curva percorrida por ela.

Mas qual a diferença entre as duas coisas?

Bom, a curva completa é percorrida quando t vai de 0 a π , pois a partir desse valor estaremos percorrendo ela novamente.

Já a distância percorrida pela partícula se da quando t vai de 0 a 4 π , então nossa distância será 4 vezes o comprimento da curva.

Para calcular isso, sabemos que o comprimento de uma curva é:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Então, fazendo as derivadas, temos:

d x d t = 2 ∙ s e n   t ∙ cos ⁡ t

E

d y d t = - s e n   t

Assim, substituindo esses valores na integral e aplicando o intervalo dado no enunciado, obtemos:

L = ∫ 0 π 2 ∙ s e n   t ∙ cos ⁡ t 2 + - s e n   t 2   d t

Agora bora resolver!! 😉

Passo 3

Elevando os termos ao quadrado, temos:

L = ∫ 0 π 4 ∙ s e n 2 t ∙ c o s 2 t + s e n 2 t   d t

Colocando o s e n 2 t em evidência:

L = ∫ 0 π s e n 2 t ( 4 cos 2 ⁡ t + 1 )   d t

Retirando o seno da raiz:

L = ∫ 0 π s e n t ( 4 cos 2 ⁡ t + 1 )   d t

Passo 4

Vamos usar duas substituições para conseguir resolver essa integral. Primeiro, vamos fazer:

u = cos ⁡ t                 d u = - s e n   t   d t

Logo, temos:

L = ∫ 0 π s e n t ( 4 cos 2 ⁡ t + 1 )   d t

L =   ∫ c o s 0 c o s π - ( 4 u 2 + 1   d u

L = ∫ 1 - 1 - ( 4 u 2 + 1   d u

Passo 5

Agora, vamos trocar:

u = 1 2 tan ⁡ w                 d u = 1 2 sec 2 ⁡ w   d w

∫ 1 - 1 - ( 4 u 2 + 1   d u

∫ - ( 4 1 2 tan ⁡ w 2 + 1 ∙ 1 2 sec 2 ⁡ w     d w

1 2 ∫ ( tan 2 ⁡ w + 1 ∙ sec 2 ⁡ w   d w

1 2   ∫ sec 2 ⁡ w ∙ sec 2 ⁡ w   d w

1 2 ∫ sec 3 ⁡ w   d w

1 2 1 2 sec ⁡ w tan ⁡ w + ln ⁡ | sec ⁡ w + tan ⁡ w |

1 4 sec ⁡ w tan ⁡ w + ln ⁡ sec ⁡ w + tan ⁡ w

Passo 6

Voltando à nossa substituição:

u = 1 2 tan ⁡ w                

tan ⁡ w = 2 u ,         sec ⁡ w = 4 u 2 + 1  

Agora vamos trocar esses valores e calcular o valor dentro dos limites de u .

L = - 1 / 4 4 u 2 + 1 2 u + ln ⁡ 4 u 2 + 1   + 2 u 1 - 1

L = - 1 4 5 ( - 2 ) + ln ⁡ 5 - 2 - 5 2 + ln ⁡ 5 + 2

L = - 1 4 - 2 5 + ln ⁡ 5 - 2 - 2 5 - ln ⁡ 5 + 2

L ≈ 2,9579

Passo 7

Esse trabalho todo foi para encontrarmos o comprimento da curva, ainda falta a distância percorrida, mas calma que agora é rapidinho.

Vimos no início da questão que a distância percorrida é igual a 4 vezes o comprimento da curva, portanto, basta pegarmos 2,9579 e multiplicarmos por 4 .

Assim, descobrimos que a distância percorrida foi de 11,8315 .

Resposta

L = 2,9579         D = 11,8315

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