Enunciado

Usando os dados do Exercício 29 , calcule a distância percorrida pelo planeta Mercúrio durante uma órbita completa ao redor do Sol. (Se sua calculadora ou sistema de computação algébrica calcular integrais definidas, use-o. Caso contrário, use a Regra de Simpson.)

Passo 1

Beleza, pessoal? A partir da resolução do exercício 29 , temos:

e = 0,249

a = 4,43   .   10 9 1 - e = 4,43   .   10 9 1 - 0,249 = 5,90   .   10 9

Então, apenas sabendo o valor da excentricidade e do comprimento do semieixo maior da elipse, precisamos ser capazes de calcular a distância percorrida pelo planeta Mercúrio, ou seja, o comprimento do arco ao dar uma volta na elipse, beleza?

Passo 2

Galera, vamos ter que usar a integral que calcula o comprimento de arco para coordenadas polares, expressa assim:

L = ∫ 0 2 π r 2 + d r d θ 2   d θ

Mas, pra sabermos os valores de r e d r d θ   , precisamos escrever uma equação polar pra elipse, ok? Então vamos usar essa fórmula:

r = a 1 - e 2 1 + e cos ⁡ θ

Agora é só derivar a equação acima em relação a θ , lembrando de usar a regra do quociente:

d r d θ = 0   .   ( 1 + e cos ⁡ θ ) - a ( 1 - e 2 ) ( - e   s e n   θ ) ( 1 + e cos ⁡ θ ) 2 = a e 1 - e 2   s e n   θ 1 + e cos ⁡ θ 2

Passo 3

Agora, podemos escrever nossa integral:

L = ∫ 0 2 π a 2 1 - e 2 2 1 + e cos ⁡ θ 2 + a 2 e 2 1 - e 2 2   s e n 2 θ 1 + e cos ⁡ θ 4   d θ

Se substituirmos as constantes que sabemos: e = 0,249 e a = 5,9   .   10 9 , e usarmos um computador para calcular a integral, encontraremos:

L ≈ 3,6   .   10 8   k m

Resposta

L ≈ 3,6   .   10 8   k m

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Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir use uma calculadora pra encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais. x = t - t 2 , y = 4 3 t 3 2, 1 ≤ t ≤ 2
Trace a curva e calcule seu comprimento: x = e t cos ⁡ t , y = e t s e nt,0 ≤ t ≤ π
Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir use uma calculadora pra encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais. x = 1 + e t , y = t 2,- 3 ≤ t ≤ 3
Calcule o comprimento da curva: x = 1 + 3 t 2 , y = 4 + 2 t 3,0 ≤ t ≤ 1
Calcule o comprimento da curva: x = t 1 + t , y = ln ⁡ 1 + t,0 ≤ t ≤ 2