Enunciado

O planeta Plutão percorre uma órbita elíptica ao redor do Sol (em um foco). O comprimento do eixo maior é 1,18   .   10 10   k m , e o comprimento do eixo menor é 1,14   .   10 10   k m . Use a Regra de Simpson com n = 10 para estimar a distância percorrida pelo planeta durante uma órbita completa em torno do Sol.

Passo 1

Bom, pessoal. Primeiro a gente precisa entender o que o exercício tá falando e o que ele quer da gente.

Plutão faz um caminho elíptico em torno do Sol, é como se Plutão estivesse deslizando sobre uma elipse imaginária. O exercício nos deu o comprimento do eixo maior dessa elipse (que é equivalente a 2 a ) e o comprimento do eixo menor (equivalente a 2 b ). E a partir disso, a gente precisa ser capaz de estimar a distância percorrida durante um órbita completa, ou seja, qual o comprimento do caminho que o planeta faz quando ele sai de um ponto e dá uma volta até chegar no mesmo ponto?

Passo 2

Show! Precisamos saber que elipse é essa, né? Bora tentar achar uma parametrização pra ela?

O exercício, de forma indireta, nos deu que:

2 a = 1,18   .   10 10

a = 0,59   .   10 10

2 b = 1,14   .   10 10

b = 0,57   .   10 10

Agora, se a gente tem a equação da elipse assim:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1   ,

então uma boa parametrização é a seguinte:

x = a cos ⁡ t = 5,9   .   10 9 cos ⁡ t ,

y = b sen ⁡ t = 5,7   .   10 9   s e n   t ,

para 0 ≤ t ≤ 2 π ,   pois estamos falando de uma volta completa.

Passo 3

Agora que a gente parametrizou a elipse, podemos calcular o comprimento da curva pela fórmula:

L = ∫ α β d x d t 2 + d y d t 2 d t   ,

com:

α = 0

β = 2 π

d x d t = ( a cos ⁡ t ) ' = - a   s e n   t

d y d t = b   s e n   t ' = b cos ⁡ t

Então ficamos com:

L = ∫ 0 2 π a 2   s e n 2   t + b 2 cos 2 ⁡ t   d t

Mas o exercício não pediu que a gente calculasse essa integral explicitamente, mas sim, usasse a Regra de Simpson para n = 10 para fazer uma estimativa. E como aplicamos essa regra?

L ≈ 1 3   Δ t   f 0 + 4   f Δ t + 2   f 2   Δ t + .   .   . + 2   f 8   Δ t + 4   f 9   Δ t + f 10   Δ t   ,

onde

Δ t = 2 π - 0 10 = π 5   ,

f t = a 2   s e n 2   t + b 2 cos 2 ⁡ t = 5,9   .   10 9 2   s e n 2   t + 5,7   .   10 9 2 cos 2 ⁡ t

Fazendo esses cálculos numa calculadora programável, chegamos à seguinte estimativa:

L ≈ 3,64   .   10 10   k m

Resposta

L ≈ 3,64   .   10 10   k m

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